高中数学课件：2第六章计数原理小结第一课时.pptx

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第六章计数原理小结(第一课时)

学科：数学(人教A版)

学校：株洲市二中枫溪学校

年级：高二年级

主讲人：吴朋杰

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第六章计数原理小结

(第一课时)

年级：高二年级学科：数学(人教A版)

主讲人：吴朋杰学校：株洲市二中枫溪学校

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复习引入

1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理

要完成的一件事

山

如何完成这件事

方法的“分类”

“不重不漏”

利用分类加法计数原理计数

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过程的“分步”

“步骤完整”

利用分步乘法计数原理计数

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1.分类加法计数原理：

完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m,种不同的方法，

在第2类方案中有m₂种不同的方法…在第n类方案中有m,种不同的方法.

那么完成这件事共有N=m₁+m₂+…+m₁种不同的方法

2.分步乘法计数原理：

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m,种不同的方法，做

第2步有m₂种不同的方法…,做第n步有m,种不同的方法.那么完成

这件事共有N=m,Xm₂X...Xm,种不同的方法

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名称

定义

顺序

列式

排列

n个不同元素，任

取m个，排成一列

√

A,“

组合

n个不同元素，任

取m个，合为一组

X

C₁

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2、排列和组合

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类型

排列数

组合数

公式

A,=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

性质

c=C=1

0!=1

备注

n,m∈N*且m≤n

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3.排列数、组合数的公式及性质

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4、二项式定理

例1:有3名女生、4名男生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.

(1)选5人排成一排，多少种不同的排法?

(2)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾，多少种不同的排法?

(3)若三个女生要站在一起，有多少种不同的排法?

(4)若三个女生要站在一起，四个男生也要站在一起，有多少种不同的排法?

(5)若三个女生互不相邻，有多少种不同的排法?

(6)男生、女生相间排列，有多少种不同的排法?

(7)全体排成一排，甲必须排在乙前面，有多少种不同的排法?

(8)全体排成一排，甲、乙、丙的先后顺序不可以改变，有多少种不同的排法?

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要点探究

探究一：排列问题

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(1)选5人排成一排，多少种不同的排法?

(2)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾，

多少种不同的排法?

解：

(1)从7人中选5人排列，有A3=7×6×5×4×3=2520种

(2)(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有

A6种排列方法，共有5AG=5×6×5×4×3×2×1=3600种.

(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，

有种排法，其他有A3种排法，共有

A{A⁵=6×5×5×4×3×2×1=3600种.

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(2)(间接法)先不考虑甲的位置，将所有人排

成一排，有A?种方法，减去甲站在排头情况

(A6种情形)和甲站在排尾情况(A6种情

形),则满足条件的情形共有

A?-2A⁶=3600种

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定位问题，优先法

对于有限制条件的排列问题，常常使用“直

接法”(主要为“特殊位置法”和“特殊元素

法”)或者“间接法”,即优先考虑限制条件.

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(3)若三个女生要站在一起，有多少种不同的排法?

解：(3)将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有A

种排法，而三个女孩之间有A种排法，所以不同的

排法共有：AA3=720种.

解：(4)将三个女孩看作一人，将四个男孩也看作一

人，有A²种排法，而三个女孩之间有A3种排法，

四个男孩之间有A种排法，共有：AAA=288种.

相邻问题捆绑法

对于相邻问题，常常先将要相邻的元素捆绑

在一起，视作为一个元素，与其余元素全排列，再松绑后它们之间进行全排列.

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(4)若三个女生要站在一起，四个男生也要站在

一起，有多少种不同的排法?

解：(5)先把四个男孩排成一排有A4种排法，在每一

排列中有五个空位(包括两端),再把三个女孩插入空位中有A种方法，所以共有：AA³=1440(种)排法.

(5)若三个女生互不相邻，有多少种不同的排法?

解：(6)先把四个男孩排成一排有A4种排法，在每一排

列中有三个空位(不包括两端),再把三个女孩插入空位中有A3种方法，