高中数学课件：3-2-4空间角的向量求法.pptx

立体几何中的空间向量

设直线l,m的方向向量分别为a,b,

平面a,β的法向量分别为u,v,则有

平面α,β的法向量分别为u,v,则有

设直线l,m的方向向量分别为a,b,

设直线l,m的方向向量分别为a,b,

平面a,β的法向量分别为u,v,则有

线线夹角：设1,m的夹角为O(O≤D≤),则

cos

线面夹角：设l,a的夹角为0(O≤0≤),则

sinθ=a·u|

lallul

Z

面面夹角：设α,β的夹角为θ(O≤θ≤π),则|cosθ|=

u·V

lullvl

4、点到单面的距高公式

如图，设P是平面a外一点，

点P到α的距离为d,作PO⊥a于0,A是a内任一点，n是平

面a的法向量，则

PA·n=(PO+OA)·n=PO·n,

∴|PA·n=IP0·n|=IPOllnl

PA·n

∴PO=

n

dn

O

PA·n

n

A

/a

即d=

解：如图建立空间直角

D⁰.8O,M(5.2.4),

∴AM=(5,2,4),AN=ξ5

易得面AMN的法向量u=(0,-2,1),

∵AD=(0,8,0),设所求的角为0,则

0

6

例1.在长方体ABCD-A,B₁C,D中，AB=5,AD=8,A,A=4,

M为B₁C上一点，且B,M=2,点N在A,D上，且A,N:ND=1:4.求AD与平面AMN所成角的余弦值.

则A(0,0,0),A,(0,0,4),

xBC

B₁

:

例2.在长方体ABCD-A,B,C₁D中，AB=5,AD=8,A,A=4,

M为B,C,上一点，且BM=2,点N在A,D上，且A,N:ND=1:4.

求平面AMN与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.

解：如图建立空间直角则A(0,0,0),A(0,0,4),

D⁰.8O,M(5.2.4),

816

易得面AMN的法向量u=(0,-2,1),

面ABCD的法向量v=(0,0,1),

∴AM=(5,2,4),AN=(0.ss

:.所求角的余弦值为

BC

√5

5

(1)求证：PA//平面EBD;

(2)求证PB⊥平面EFD;

(3)求二面角C-PB-D的大小.

分析：PD⊥底面ABCD,∴可建立如图所示的空间直角坐标系.

求出相关点和相关向量的坐标，即可解答本题.

阅读课本P109的解答.

例3.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD上底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于F.

练习.已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为6的正方形，

PB⊥平面ABCD,PB=4,E为PA的中点.求：

(1)异面直线PC与DE所成角α的余弦值；

(2)求直线PC与平面PAD所成角β的余弦值；

(3)求二面角A-PD-C的平面角θ的余弦值。

练习(用向量法求距离):

1.如图，ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD,PD=DC=a,AD=√2a,

M、N分别是AD、PB的中点，求点A到平面MNC的距离.

练习.已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为6的正方形，

PB⊥平面ABCD,PB=4,E为PA的中点.求：

(1)异面直线PC与DE所成角a的余弦值；

(2)求直线PC与平面PAD所成角β的余弦值；

(3)求二面角A-PD-C的平面角θ的余弦值.

解：(1)如图建立空间直角坐标系，P(0,0,4),A(0,6,0),

C(6,0,0),D(6,6,0),∴E(0,3,2),

∴PC=(6,0,-4),DE=(-6,-3,2),

pǐZ

E

B

练习.已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为6的正方形，

PB⊥平面ABCD,PB=4,E为PA的中点.求：

(2)求直线PC与平面PAD所成角β的余弦值；

解：(2):P(0,0,4),A(0,6,0),C(6,0,0),D(6,6,0),

∴PA=(0,6,-4),AD=(6,0,0),PC=(6,0,-4),

设平面PAD的一个法向量为u=(x,y,z),

则

练习.已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为6的正方形，

PB⊥平面ABCD,PB=4,E为PA的中点.求：

(3)求二面角A-PD-C的平面角θ的余弦值.

解：(3):P(0,0,4),A(0,6,0),C(6,0,0),D(6,6,0),

∴PC=(6,0,-4),PD=(6,6,-4),

设平面PCD的一个法向量为v=(x,y,z),则

P1z

E

B

练习(用向量法求距离):

1.如图，ABCD