高中数学课件：3《空间向量与立体几何小结》0 (1).pptx

湖南省名师网络工作室精品课

空间向量与立体几何小结

学科：数学(人教A版)

学校：湖南省株洲市茶陵县第三中学

年级：高二年级

主讲人：谢婷

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空间向量与立体几何小结

学科：数学(人教A版)

学校：株洲市茶陵县三中

年级：高二年级

主讲人：谢婷

知识结构图

空间向量的概念及其运算

空间向量基本定理与空间向量运算的坐标表示

↓

用空间向量解决立体几何问题

空间向量的定义及其表示

空间向量的线性运算和数量积运算

空间向量的基本定理

空间向量运算的定义及其几何意义

空间向量运算

的运算律

用空间向量研究立体几何中的直线、平面的位置关系、距离和夹角问题

空间直角坐标系

空间向量运算的坐标表示

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把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论

用空间向量表示点、直线、平面等元素

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知识梳理

问题1:在本章的学习中，我们是如何学习和研

究空间向量的呢?

本章我们在必修课程学习平面向量的基础

上，利用类比方法，学习空间向量的概念、

运算(包括线性运算和数量积)、基本定理，并

运用空间向量研究空间基本图形的平行、垂

直等位置关系和距离、角度等度量问题。

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问题2:你知道平面向量和空间向量为什么可以类比吗?

向量是具有大小和方向的量，这一概念既适用于平

面，也适用于空间.平面内的向量都可以看作空间中的

向量。

因此空间向量的概念、表示和平面向量是一致的。

由于任意两个空间向量都可以平移到一个平面内。

因此两个空间向量的运算可以看作两个平面向量的

运算，它们的加法、数乘、数量积运算也是一致的。

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问题3:如何利用空间向量研究空间几何问题的呢?

空间向量为我们解决立体几何问题提供了新的工

具，而且空间向量是研究空间图形的有力工具，向

量让几何量带上了方向，并用统一的符号表示，因

此向量运算既是几何的运算也是数的运算.

(1)空间向量的加法、数乘、数量积等运算以

及空间向量基本定理是用“向量法”解决立体几何

问题的基础。

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(2)空间向量基本定理把空间任意一个向量表示成三个不共面向量的线性运算，在用空间向量解决立体几何问题的过程中，这种表示发挥了基础性的作用，由空间向量基本定理，我们还可以进一步得到空间向量及其运算的坐标表示，从而将几何问题完全“代数化”,得到用空间向量解决立体几何问题的“坐标

法”。

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问题3:利用空间向量解决立体几何问题的步骤：

用空间向量解决立体几何问题的三步曲：

首先，要用空间向量表示立体几何问题中涉及的几何

元素，将几何问题转化为向量问题；

然后，通过空间向量的运算，研究空间图形之间的

平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题；

最后，将运算结果“翻译”成相应的几何结论，得到

相应立体几何问题的解决.

高二举绥|数亭二

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知识梳理

1.空间向量及其加减运算

(1)在空间具有大小和方向的量叫空间向量.

(2)模、零向量、相等向量、相反向量、单位向量等

的意义与平面向量相同.

(3)空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，

成为同一平面内的两个向量.

(4)空间向量的加减运算与平面向量相同.

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2.向量的共线与共面

(Da=λb(b≠ō),a与b共线

(2)AB=tAC(t∈R),

或OA=λOB+μOC(λ+μ=1),

A,B,C三点共线.

(3)p=xā+yb(a.b不共线),

向量p,a,b共面

(4)AB=xAC+yAD

或OA=xOB+yOC+zOD(x+y+z=1),

A,B,C,D四点共面

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3.空间向量的数量积

a·b=|a·|b|cos(a,b)

a²=a²a⊥b⇔a.b=0(ab非零向量

a·b=b·a(交换律)

(da):b=a·(Ab)=λ(a·b)(结合律)

(a+b)·C=a·C+b·c(分配律)

高一辉级1数亭二

4.空间向量坐标运算

a=(x,yj,z₁),b=(x₂,y₂,z₂)

a+b=(x₁+x₂,yi+y₂,z₁+z₂),a-b=(x₁-xy,y₁-y₂,z-z₂)

Aa=(λx,λyj,λz),λ∈Ra·b=x₁X₂+y₁y₂+zz₂

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