高中数学课件：2杨辉三角的性质与应用.pptx

湖南省中小学课程资源杨辉三角的性质与应用学科：数学(人教A版)学校：株洲市二中枫溪学校年级：高二年级主讲人：吴朋杰湖南省中小学课程资源杨辉三角的性质与应用年级：高二年级主讲人：吴朋杰学科：数学(人教A版)学校：株洲市二中枫溪学校湖南省中小学课程资源 情景引入杨辉三角的历史探源在探究(a+b)的展开式的二次项系数性质时，曾把系数写成一张表格的形式：(a+b)1-------------------------1l(a+b)2----------------------121(a+b)3--------------------1331(a+b)?------------------14641(a+b)?----------------15101051(a+b)?--------------1615201561高二年级|数学湖南省中小学课程资源我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中，就出现了该表：右隅本积左积商除平方立方三乘四乘五乘四四五+穴右表乃隅算中藏者皆廉以廉乘商方命实而除之象和案该表称为杨辉三角.高二年级|数学湖南省中小学课程资源我国：杨辉在《详解九章算法》里指出，杨辉三角出于《释锁》算书，我国北宋数学家贾宪(约11世纪)曾用过；欧洲：该表被法国数学家帕斯卡(1623-1662)首先发现.杨辉三角的发现比欧洲早500年左右!由此可见，我国古代数学成就是非常值得中华民族自豪的!高二年级|数学湖南省中小学课程资源 课堂探究(一)杨辉三角性质的探究第0行1第1行第2行第3题1:观察上述杨辉三1角，你有什么发现?第4行第5行第6行第7行14651010615202135354515211167171111高二年级|数学湖南省中小学课程资源1.发现问题1111213③11④6④151010⑤1161520156我们先来观察杨辉三角每一行有什么特征?1(1)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即：C,=C,高二年级|数学湖南省中小学课程资源11+11+2=2+1=4观察杨辉三角每一行还有什么特征?1+3+3+1=81+4+6+4+1=161+5+10+10+5+1=321+6+15+20+15+6+1=64(2)第n行数的和为2,即Co+C?+C2+…+Cn=2高二年级|数学湖南省中小学课程资源再次观察杨辉三角每一行有没有别的特征?112331464N51010561520156(3)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即：C?+C2+C?+…=C!+C?+C+…=2-高二年级|数学湖南省中小学课程资源思考：除了观察每一行得到杨辉三角的性质以外，你认为还可以从哪些角度进行进一步观察?高二年级|数学湖南省中小学课程资源第0行第1行C?=C+C第2行第3行第4行第5行C3=C+C第6行61520第7行7213535C?=C5+C3我们再来观察杨辉三角相邻两行的数有什么关系?(4)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即：C,=C;H+C高二年级|数学湖南省中小学课程资源11除了探究杨辉12+22+12=6三角每一行、12+32+32+12=20相邻两行的规14⑥41律以外，还可16151020101556以从哪些角度进一步探究?(5)第n行各数平方和等于第2n行中间的数，即：(C?)2+(C!)2+(C2)2+…+(Cn)2=C2151高二年级|数学湖南省中小学课程资源除了探究杨辉三角每一行、相邻两行的规律以外，还可以从哪些角度进一步探究?(6)自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，即高二年级|数学Cr+C+C+2+…+C-=C湖南省中小学课程资源2.分析和解决问题利用已学知识，尝试对所得结论进行证明.在数学上，当我们获得一个猜想之后，必须要证明它，所用的就是逻辑推理的方法.从观察和实验，到归纳和猜想，再到推理和论证，这是一个完整的数学探究过程，数学探究中的“推理论证”不同于科学探究中的“实验验证”,数学中的结论一旦得到证明，是不会改变的，而科学中经过实验验证的结论有时会在若干年后推翻重建.高二年级|数学湖南省中小学课程资源你能证明上述猜想吗?求证：C+C+C?+…+C=2”证明：因为(a+b)”令a■1,b■1,所以(所以Co+C+C2+…+Cn=