高中数学课件：3《1-2空间向量基本定理》0.pptxVIP

湖南省名师网络工作室精品课

1.2空间向量基本定理

学科：数学(人教A版)

学校：湖南省株洲市茶陵县第三中学

年级：高二年级

主讲人：谢婷

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1.2空间向量基本定理

学科：数学(人教A版)

学校：株洲市茶陵县三中

年级：高二年级

主讲人：谢婷

问题1:我们已经学习过平面向量基本定理，那么平面向量基本定理的内容是什么呢?

追问：由平面向量基本定理知道，平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量表

示.类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量a,b,c来表示呢?

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一.复习回顾、提出问题

数学|高二

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二.探究新知

问题2:如图，设i,j,k是空间中三个两两

垂直的向量，且表示他们的有向线段有公

共起点O,对于任意一个空间向量p=OP,

p能否用i,j,k表示呢?

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解决办法?

uuuLLI

设OQ为OP在i,j确定的平面上的投影向量，则

由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x,y),

使得0Q=xi+yj.从而OP=0Q+zk=xi+yj+zk.

从而=+zk.而在i,j所确定的平面上，

OQ

uuu

P

u

uuuuuuuuu

OP=0Q+QP,

uul

使得QP=zk,

共线，因此存在唯一实数z,

LLLL

又向量QP,k

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因此，如果i,j,k是空间三个两两垂直的向

量，那么对于任意一个空间向量p,存在唯一的有

序实数组(x,y,z),使得p=xi+yj+zk.我们称xi,yj,zk分别为向量p在i,j,k上的分向量.

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对于上面的分解，你能证明唯一性吗?

假设这种表示不唯一，

即p还可以表示成p=x₁i+y₁j+z₁k,

那么xi+yj+zk=x₁i+y₁j+z₁k.

由向量i,j,k不共面可以得到：

x=x₁,y=y₁,z=z₁·

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问题3:在空间中，如果用任意三个不共面的

向量a,b,c代替两两垂直的向量i,j,k,你

能得到类似的结论吗?

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OA=a,OB=a,OC=a,

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分析：

过点O作

uuu

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空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面

那么对任意一个空间向量P,存在唯一的有序实数

组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.

我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c都叫

做基向量.所有空间向量组成的集合就是

{plp=xa+yb+zgx,yRz

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特别地，如果空间的一个基底中的三个基向

量两两垂直，且长度都为1,那么这个基底叫做

单位正交基底，常用{i,j,k}表示.由空间向量

基本定理可知，对空间中的任意向量a均可以分

解为三个向量xi,yj,zk,使得a=xi+yj+zk,

像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的

向量，叫做把空间向量进行正交分解.

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追问1:你能自己给出空间向量基本定理的证明吗?

追问2:请同学们思考下面几个问题

(1)构成空间的基底是唯一的吗?

(2)基底选定后，空间中向量用基底表示，

表示形式唯一吗?

(3)基向量可以为零向量吗?

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三.巩固新知

【问题1】若{a,b,c}是空间的一个基底.试判

断{a+b,b+c,c+a}能否作为该空间的一个基底?

【分析】由基底的定义可以知道，只要判断向量

a+b,b+c,c+a是否共面.

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【解】假设a+b,b+c,c+a共面，则存在实数λ、μ,

使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c

∵{a,b,c}是空间的一个基底∴a,b,c不共面.

∴μ=1且λ=1且λ+μ=0,∴λ、μ不存在

即不存在实数λ、μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),

∴a+b,b+c,c+a不共面，

故{a+b,b+c,c+a