高中数学课件：2-2-3直线的一般式方程课件.pptxVIP

2.2.3直线的一般式方程

名称

几何条件

方程

适用范围

点斜式

点P(x₀y₀)和斜率k

y-y₀=k(x-x₇)

斜率存在

斜截式

斜率k,

y轴上的纵截距b

y=kx+b

斜率存在

两点式

P₁(x₁₃y₁),P₂(x₂,y₂)

y-ǐx-x

2-3i2—x

斜率存在，

且不为0

截距式

在x轴上的截距a在y轴上的截距b

a+b=1

斜率存在，且不

为0,不经过原点

探究新知

思考：上述四种直线方程，能否写成如下统一形式?

のx+?y+?=0

y-y,k(xex)—→kx+(-1)y+(y₀=kx₀)■0

y=kx+b→kx+(-1)y+b=0

上述四式都可以写成直线方程的一般形式：Ax+By+C=0

思考1平面直角坐标系中的任意一条直线方程都可以用

一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0表示吗?

探究新知

①当B≠0时，方程可化为

这是直线的斜截式方程，它表示斜率是在y轴上的截距是的直线.

思考2任意一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0都表

示一条直线吗?

表示垂直于x轴的一条直线

由上可知，关于x,y的二元一次方程都表示一条直线。

②当B=0时，方程可化为

探究新知

适用范围：任意一条直线

注意：对于直线方程的一般式，规定：

1)x的系数为正；

2)x,y的系数及常数项一般不出现分数；

3)按含x项，含y项、常数项顺序排列.

Ax+By+C=0

探究新知

探究：二元一次方程的系数对直线的位置的影响

在方程Ax+By+C=0中，A,B,C为何值时，方程表示的直线为：

(1)平行于x轴；(2)平行于y轴；(3)与x轴重合；

(4)与y轴重合；(5)过原点；

(1)A=0,B≠0,C≠0

(2)B=0,A≠0,C≠0

(3)A=0,B≠0,C=0

(4)B=0,A≠0,C=0

(5)C=0,A、B不同时为0

解：经过点A(6,-4),斜率：的直线的点斜式方程是

化为一般式，得4x+3y-12=0.

典例分析

解：把直线/的一般式方程化为斜截：

因此，直线的斜率它在y轴上的截距是3.

(=6,0)

-5-4-3-2-1Ol2x

V

4

3

2L

B(0,3

B

-1

●

9

平面直角坐标系是把二元一次方程和直线联系起来的桥梁，

这是笛卡儿的伟大贡献.在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示.

A(O,—2),;(2B(4,2),

(3,=2),P₂(5,=4);(4)

P2P2y●0

(2)y-2=0;

(1)

(3

平

3.

2)(②)

00

V

2.求下列直线的斜率以及在y轴上的截距，并画出图形：

(1)3x+y-5=0;

(3)x+2y=0;(4)7x-6y+4=0.

8(1)y

(4)6

典例分析

例3直线1:Ax+By+C=0,l₂:A₂x+B₂y+C₂=0

试讨论：(1)l₁//l₂的条件是什么?

(2)l₁⊥l₂的条件是什么?

例：已知直线1:ax+2y+6=0和直线l,:x+(a-1)y+a²-1=0.

(1)当1₁//1₂时，求a的值；

(2)当1₁⊥1,时，求a的值.

练习：求满足下列条件的直线的方程

(1)经过点A(3,2),且与直线4x+y-2=0平行

(2)经过点C(2,-3),且平行于过M(1,2)和N(-1,-5)两点的直

4上

线

(3)经过点B(3,0),且与直线2x+y-5=0垂直

直线方程的综合应用

例：已知直线I₁:ax-2y=2a-4,l₂:2x+a²y=2a²+4,当Oa2时，

两直线与坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求a的值.

例：已知直线l过点M(1,1),且与x轴，y轴的正半轴分别相交于

A,B两点，O为坐标原点.求：

(1)当IOA|+|OB|取得最小值时，直线l的方程；

(2)当|MAI?+|MB|?取得最小值时，直线l的方程.

例