高中数学课件：4-2-3等差数列的前n项和公式及相关性质-.pptx

第四章数列

4.2.2第3课时

等差数列的前n项和公式及相关性质

素养目标

学科素养

1.等差数列的前n项和公式及其应用.(重点)

2.等差数列的前n项和公式的推导过程.(难点)

1、数学抽象

2、数学运算3、逻辑推理

创设情境

据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：

1+2+3+...+10O=?

你准备怎么算呢?

高斯的算法：1+2+3+4+……+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+….+(50+51)=101×50=5050

高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以配对成50对：

第一个数与最后一个数一对；

第二个数与倒数第二个数一对；

第三个数与倒数第三个数一对，……

配对后每对数的和均相等，都等于101,高斯算法是将不同数的求和问题转化成了相同数(即101)的求和，快速准确得到结果.

1855),德国数学家，

近代数学的奠基者之一.

他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献.

高斯(Gauss,1777—

探究新知

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问题1:为什么1+100=2+99=…=50+51呢?

这是巧合吗?试从数列角度给出解释.

应用等差数列的性质：

若m+n=p+q时，则am+a₁=ap+ag

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问题2:你能利用高斯算法求1+2+…+100+101吗?

思路1.(拿出中间项，再首尾配对):

原式=(1+101)+(2+100)+…+(50+52)+51思路2.(拿出末项，再首尾配对):

原式=(1+2+…+100)+101

思路3.(先凑成偶数项，再配对):

原式=(0+1+2+…+101)

类比、推广一般情况：

问题3:你能计算1+2+3+…+n吗?

请同学们动笔书写运算过程

思考：按高斯的算法，需要对等差数列各项进行“配对”,那么项数为奇数和项数为偶数时，前n项和是否一样呢?

我们以等差数列{a,}的通项公式a,=n为例，进行谈论；

当n是偶数时，有

S,=1+2+3+…+n

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=(1+n)+(1+n)+…+(1+n)

思考：项数分奇偶得到的结果是一样的，那么是否能避免分类谈论呢?

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当n为奇数时，有

S,=1+2+3+…+n

所以，对任意正整数n,都有

;

这样，按照图2,每层的钢管数都等于4+9,共有6层。从而图1钢管的

总数为

思考：如何推导等差数列{a,}的前n项和公式S,呢?

某仓库堆放的一堆钢管(如图),最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根，怎样计算这堆钢管的总数呢?

请同学们观察两幅图形，思考钢管数关系?

探究新知

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Sn=a₁+a₂+a₃+…+an-2+an-1+an

Sn=an+an-1+an-2+…+a₃+a₂+a₁·

2Sn=(a₁+an)+(a₂+an-1)+…+(an+a₁)

因为：a₁+an=a₂+an-1=…=an+a₁

所以：2Sn=(a₁+an)+(a₁+an)+…+(a₁+an)

=n(a₁+an)

即：

倒序相加法

已知量

首项，末项与项数

首项，公差与项数

选用公式

S,=

Sn=

等差数列前n项和公式

由上得出：等差数列{a,}的前n项和公式

又因为a=a₁+(n-1)d

所以上述公式又可以写成

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已知量

首项，末项与项数

首项，公差与项数

选用公式

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等差数列的前n项公式

功能1:已知a,a₁和n,求S

功能2:已知S,n,a₁和a,中任意3个，求第4个.

(4)若等差数列{an}的项数为2n+1(n∈N),则S2n+1=(2n+

1b0m(a是数列的中间项).

(S≠0).其中，S。表示数列{an}的奇数项的和，S表示数

列{an}的偶数项的和.

(1)若Sm,S2m,S3m分别为等差数列{am}的前m项，前2m项，

前3m项的和，则Sm,S₂m—Sm,S₃m—S₂m成等差数列，公差

为m²d.

2)设两个等差数列{a},{b}的前n项和分别为S,Tm则

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等差数列的前n项公式的性质

(3)若等差数列{an}的项数为2n(n∈N),则S2n=n(an+an+1),

1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sn与an不可能相

等.(X)

2.等差数列{an}的前n项和Sn一定是关于n的二次函

数.(X)

微判断

微训练

1.在等差数列{an}中，ai=2,az=3,则其前10项的和S1o

等于65

解