高中数学课件：3-2-2函数的奇偶性.pptx

3.2.2函数的奇偶性

蕾落

生活中的对称美

轴对称图形

上面这两个函数的图像都有什么共同特点?

如何用数学语言准确描述这种特征呢?

X

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

f(x)=x2

16

9

4

1

0

1

4

9

16

对于函数f(x),有f(-1)=1=f(1); f(-2)=4=f(2);f(-3)=9=f(3);

函数f(x)=x²,x∈[-1,2]呢?

函数f(x)=x²,x∈[-2,2]的

图像关于y轴对称吗?它是偶函数吗?

主要原因：定义域要关于原点对称

上面这两个函数的图像都有什么共同特点?

如何用数学语言准确描述这种特征呢?

一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果

①Vx∈I,-x∈I,——函数的定义域关于原点对称

②f-x)=-f(u)-自变量相反，函数值也相反

那么函数/(x)就叫做奇函数.→函数图像关于原点对称

X

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

f(x)=x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

对于函数f(x),

有f(-1)=-2=-f(1);

f(-2)=-4=-f(2);

f(-3)=-6=-f(3);

若f(x)为奇函数且在x=0有定义，则必有f(O)=0.

函数f(x)=x,x∈[-2,2]的

图像关于原点对称吗?它是奇函数吗?

主要原因：定义域要关于原点对称

观察下列函数图像，并判断它们的奇偶性

(7)(8)

(5)

(6)

(1)

(4)

P851.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整.

∵f(-x)=(-x)⁵=-x⁵=-f(x)f(x)奇函数

(4)解：定义域为{x|x≠0},

关于原点对称

∴f(x)偶函数

∵f(-x)=(-x)⁴=f(x)

∴f(x)偶函数

(3)解：定义域为{x|x≠0},

关于原点对称

∴f(x)奇函数

(1)解：定义域为R,关于原点对称(2)解：定义域为R,关于原点对称，

【例1】:判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)=x⁴(2)f(x)=x⁵

偶函数既奇又偶函数奇函数

f(x)=0,x∈D(D关于原点对称

f(-x)=f(x)

图象关于y轴对称

关于原点对称

二看关系式or图象

不关于原点对称

非奇非偶函数

f(-x)=-f(x)

图象关于原点对称

奇偶性的判断方法

一看定义域

(1)f(x)=3-2|x|解：Vx∈R,-x∈R,且f(-x)=3-2|-x=3-2|x=f(x),

解：Vx∈{x|x≠0),-x∈{x|x≠0},

解∵f(x)定义域为{x|x≠1},不关于原点对称

(4)f(x)=0解：Vx∈R,-x∈R,且f(-x)=0=f(x),f(-x)=0=-f(x)

∴f(x)是非奇非偶函数

【变式1】:判断下列函数的奇偶性：

∴f(x)是既奇又偶函数

∴f(x)是奇函数

∴f(x)是偶函数

,

根据奇偶性，函数可划分为四类：

奇函数

偶函数

*非奇非偶函数

既奇又偶函数f(x)=0,x∈R

说出下列函数的奇偶性：

①f(x)=x⁴偶函数

②f(x)=x奇函数③f(x)=x⁵奇函数

奇函数，偶函数作一些简单运算后会出现一些规律：

奇+奇=奇偶+偶=偶

奇×奇=偶偶×偶=偶

函数f(x)=x”中：

若n为偶数，则它为偶函数.

若n为奇数，则它为奇函数.

④f(x)=x-1

⑤f(x)=x2

⑥f(x)=x3奇函数

奇函数

偶函数

课后

作业

P85

P86

2

5

第二课时

整理得2a=8∴a=4.

(法2)∵f(x)=x²+(a-4)x-4a为偶函数∴f(x)关于y轴对称，

:对称轴：:a=4.f(x)=ax²+c为偶函数

去3)∵f(x)为偶函数∴f(1)=-3(1+a)=f(-1)=-5(-1+a), 整理得2a=8,∴a=4.已知奇偶性可代特殊值求参数

由奇偶性求参数

[例2]若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数，则实数a=4

(法1)∵f(x)为偶函数∴f(-x)=f(x),即(-x+a)(-x-4)=(x+a)(x-4)

(法1)由f(-1)=-f(1)得O=-(a+b),∴a+b=0.(法2)画图

a=1b=-1.

定义域关于原点对称

图象关于y轴对称：b=0

由奇偶性