高中数学课件：2-5-1直线与圆的位置关系1.pptx

高中二年级数学

直线与圆的位置关系

一、新知探究

1、直线与圆的位置关系

由平面几何可知，直线与圆有三种位置关系：

(1)直线与圆相交，有两个公共点；

(2)直线与圆相切，只有一个公共点；

(3)直线与圆相离，没有公共点；

在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系?

现在，如何用直线的方程和圆的方程判断它们之间的位置关系?

思考

【例1】如图，已知直线1:3x+y-6=0和圆心为C的圆

x²+y²-2y-4=0,判断直线/与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标.

小结

1、直线与圆的位置关系的判定

方法一：方程的观点，即把圆的方程和直线的方程

联立成方程组，利用判别式△来讨论位置关系.

(1)△0,直线与圆相交；

(2)△=0,直线与圆相切；

(3)△0,直线与圆相离；

方法二：几何的观点，即把圆心到直线的距离d

和半径R的大小加以比较，

(1)dR,直线与圆相交；

(2)d=R,直线与圆相切；

(3)dR,直线与圆相离；

【例2】已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程

x²+y²-4x-2y+1=0.当m为何值时，圆与直线：

(1)有两个公共点；

(2)只有一个公共点；

(3)没有公共点.

2、过一点求圆的切线

【例3】(1)过点P(2,1)做圆：x²+y²=1的切线，求

切线的方程。

(2)过点P(4,6)做圆：x²+y²=16的切线，求

切线1的方程。

(3)过点P(3,4)做圆：x²+y²=25的切线，求

切线的方程。

【结论】

已知圆的方程为x²+y²=r²,求经过圆上一点

M(r₀,y₀)的切线方程.

若圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²,则

切线方程为(x-a)(x,-a)+(y-b)(y,-b)=r²;

【推广】

圆C与直线2x+y-5=0相切于点(2,1),且与直线

2x+y+15=0也相切，求圆C的方程。

【例4】已知过点M(-3,-3)的直线/被圆x²+y²+4y-21=0

所截得的弦长为4√5,求直线/的方程.

Y个

O.

M(3,-3

X

【例5】(1)求圆x²+y²=8内的点P(-1,2)作直线[交

圆于A,B两点.若直线/的倾斜角为135°,求弦AB的长。

(2)直线/经过点P(5,5),且和圆C:x²+y²=25相交于

A,B两点，截得的弦长为4√5,求/的方程.

(1)求证：直线/与圆C相交；

(2)当直线/被圆截得的弦长最短时，求直线I的方

程，并求出弦长.

变式训练

已知直线/:kx-y+k+2=

0与圆C:x²+y²=8.

二、与圆有关的最值问题

【例6】已知实数x,y满足方程x²+y²-4x+1=0.

(1)求y-x的最大值和最小值

(2)求x²+y²的最大值和最小值

o*a

三、面积最小最大圆问题

【例7】求通过直线2x-y+3=0与圆r²+y²+2x-

4y+1=0的交点，且面积最小的圆的方程.

三、面积最小最大圆问题

【例7】求通过直线2x-y+3=0与圆y²+y²+2x-

4y+1=0的交点，且面积最小的圆的方程.

对于直线y=kx+b上的两点A(x₁,y₁),B(x,,y₂),

|AB=√(x₁-x;²+(U₁-y₂)²=√1+k²|x;-x;l

【例8】自点4(-3,3)发出的光线/射到x轴上，被x轴反

射，其反射光线所在的直线与圆x²+y²-4x-4y+7=0

相切，求光线/所在的直线方程.

【例9】求圆心在直线3x-y=0上，与x轴相切，且

被直线r-y=0截得的弦长为2√7圆的方程.

【例10】一条光线从点(-2,-3)射出，经y轴反射后

与圆(x+3)²+(y-2)²=1相切，则反射光线所在直线的斜

率为_

课堂小结