高中数学课件：3《2-3-3点到直线的距离公式》0.pptx

湖南省名师网络工作室精品课

2.3.3点到直线的距离公式

学科：数学(人教A版)

学校：湖南省株洲市第八中学

年级：高二年级

主讲人：周学鹏

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2.3.3点到直线的距离公式

学科：数学(人教A版)

学校：株洲市第八中学

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年级：高二年级

主讲人：周学鹏

湖南省张旭艳高中数学名师网络工作室

情景引入

风云四号卫星云南今日0时17时

数学|高二

CGTV13

新间

1822号台风“山竹”

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情景引入

据预测，台风中心位于我市的正东方向200km的

海平面上，正向西北方向移动，台风侵袭的范围为

圆形区域，半径为100km。问：未来我市会受到台风的影响吗?

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自主探究

探究一：用坐标法推导点到直线的距离公式

问题1:如图，平面直角坐标系中，已知点P(xo,Yo),

直线l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0),怎样求出点P到

直线l的距离呢?

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提示：两点间的距离公式

设点P到直线l的垂线为l,垂足为Q,

由l⊥l可知l的斜率为

∴.I的方程为

与l联立方程组，可得

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→(A²+B)x=-ABy,-AC+Bx,

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∴由两点间的距离公式有：

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问题2:通过刚才的运算，我们发现把点线距离转化

为两点间的距离思路顺畅，但是计算繁琐。我们知

道向量是解决距离和夹角问题的有力工具，怎样用

向量投影的办法求点到直线的距离?

|PQ=|I1

=|PM·n

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→

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设P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)是直线l:Ax+By+C=0

上的任意两点，则P₁P₂2=(x₂-xj,y₂-y₁)是直

线l的方向向量.

把Ax₁+By₁+C=0,Ax₂+By₂+C=0两式相减，

得A(x₂-x₁)+B(y₂-y₁)=0

由平面向量的数量积运算

可知，ü=(A,B)与

P₁P₂=(x₂-x₁,y₂-y₁)垂直.

就是与直线l的方向向量垂直的一个单位向量.

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因为点M(x,y)在直线l上，所以Ax+By+C=0

所以Ax+By=-C

代入上式得

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巩固应用，解决问题

例1求点P(-1,2)到直线l:3x=2的距离.

解析-———

先将直线的方程化为一般式：3x-2=0

由点到直线的距离公式得

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反思与感悟：

我们需要注意：利用点到直线的距离公

式时，直线方程需化为一般式.

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如果直线改为7

例1:求点P(-1,2到直线l:3x=2的距离.

那么点P到直线l的距离为

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方法2

反思与感悟：

可以利用数形结合的思想，直观地观察一

些量的变化，从而达到解决问题的目的.

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例2:已知△ABC的三个顶点分别是A(1,3),B(3,1),

C(-1,0),求△ABC的面积。

巩固应用，解决问题

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AB边上的高h就是点C到直线AB的距离.|AB|=√(3-1)²+(1-3)2=2√2.

边AB所在直线l的方程为

即x+y-4=0

点C(-1,0)到直线l:x+y-4=0

方法1:如图，设AB边上的高为h,则.

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|AB|=√(3-1)²+(1-3)²=2V2.|AC|=√(-1-1)²+(0-3)2=√13.

BC|=√(-1-3)²+(0-1)2=√17.

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方法2:

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方法3:如图，过点A,B分别做x轴的垂线，垂足

分别为D,E.

则S△ABC=S△ACD+S梯形ABED—S△EBC

同学们，你还能想到别的易求的分割办法吗?

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=5

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实际应用

据预测，台风中心位于我市的正东方向200km的海平

面上，正向西北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，

半径为100km。问：未来我市会受到台风的影响吗?

分析：根据题意，以城市(点O)为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系.

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