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近世代数经典题与答案

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1．设为整数加群,,求

解在Z中的陪集有:

,,,

,,所以,.

2、找出的所有子群。

解：S3显然有以下子群：本身；（（1））={（1）}；（（12））

={（12），（1）}；（（13））={（13），（1）}；（（23））={（23），

（1）}；（（123））={（123），（132），（1）}

若S3的一个子群H包含着两个循环置换，那么H含有（12），（13）这两

个2-循环置换，那么H含有（12）（13）=（123），（123）（12）=（23），

因而H=S3。同理，若是S3的一个子群含有两个循环置换（21），（23）或

（31），（32）。这个子群也必然是S3。

用完全类似的方法，可以算出，若是S3的一个子群含有一个2-循环置换

和一个3-循环置换，那么这个子群也必然是S3。

7．试求高斯整环的单位。

解设()为的单位,则存在,使得,于是

因为,所以.从而,,或.因此可能的单位只有

显然它们都是的单位.所以恰有四个单位:

5．在中,解下列线性方程组:

解:即,.

12.试求的所有理想.

解设为的任意理想,则为的子环，则,,且.

对任意的,,有,

从而由理想的定义知,为的理想.由此知,的全部理想为且.

13、数域上的多项式环的理想是怎样的一个主理想。

解由于，所以，于是得

。

14、在中,求的全部根.解共有16个元素:,,,,将它们分别

代入,可知共有下列4个元素,,,为的根.

20.设R为偶数环.证明：问：是否成立？N是由哪个偶数生成的主理

想？

解：：

故另外

故总之有另方面，由于

且而且实际上N是偶数环中由8生成的主理想，即

，但是

因此，.实际上是

22、设,求关于的所有左陪集以及右陪集.

解,的所有左陪集为:;

;．

的所有右陪集为:;

;.

1．在群中,对任意,方程与都有唯一解.

证明令,那么,故为方程的解。又如为的任一解,即,则.

这就证明了唯一性.同理可证另一方程也有唯一解.

5．设是所有阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成的群.是所有行列式等于

1的阶矩阵所组成的集合.则是的子群.

证明首先,单位矩阵的行列式为1,所以非空.又对任一阶方阵,如

果,则,所以可逆,故是的子集.又对任意的,有,所以.

这说明.从而由定理知,是的子群.

7．设为的子群.则在中左陪集的个数与右陪集的个数相同.证明

设,分别表示在中的左、右陪集所组成的集合.令

,.

则是到的双射.事实上

(1)如果,那么,故,所以,.于是,为到的映射.

(2)任给