高中数学课件：4-3-1等比数列的概念.pptx

9,92,93,…,910;①

100,100²,100³,…,10010;②

5,52,53,…,510;③

1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下面的数列：

情景导入

F

2

2.《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”,那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是：

1

2’

1

4’8

第四天取半

●

1

32

第n天取半

情景导入

设木棰长度为1

●●●

816

第一天取半

1”

2

木棰长度

第二天取半

第三天取半

1

2

16

1

4

1

+

F

3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是：

●

00

000

●●●●00●

●00

细菌个数

2

4

8

2m

分裂次数

第一次

第二次

第三次

第n次

2,4,8,16,32,64,…⑤

情景导入

探究新知

思考：请同学们仔细观察以下五个数列，类比等差数列的研究，你认为

可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律?你发现了什么规律?

9,92,9³,…,910;①

100,100²,100³,…,10010;②

5,52,5,…,510;③

2本1632.…④

2,4,8,16,32,64,…⑤

取值规律：从第2项起，每一项

与它的前一项的比都等于9.

共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.

如果用{a,}表示数列①,那么有

等比数列

如果一个数列从第二项起，

每一项与它的前一项的比_都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.

常数叫做等_比_数列的公比

公比通常用字母q表示(q≠0)

等差数列

如果一个数列从第二项起，

定每一项与它的前一项的差都等义于同一个常数，那么这个数列

就叫做等差数列.

常数叫做等差数列的公差.

公差通常用字母d表示

a-an-₁=d(n∈N*且n≥2)

探究新知

探究1:类比等差数列的概念，你能抽象出等比数列的概念吗?

符号

1.观察并判断下列数列是否是等比数列，是的话，指出公比，不是

的话请说明理由：

(1)1,2,4,8,…;

(2)4,-8,16,-32,64,…;

(3)5,5,5,5,5,5,…

(4)0,1,2,4,8,…

(5)2,0,2,0,2,…

(6)1,a,a²,a³,a⁴,…

小试牛刀

思考1:等差数列的项、公差均可以是0吗?等比数列呢?

等差数列的项、公差均可以是0,

但等比数列的项和公比均不可以是0

思考2:常数列是等差数列吗?是等比数列吗?

常数列一定是等差数列，公差为0;

非零常数列是等比数列，公比为1.

思考3:是否存在既是等差数列又是等比数列的数列?

非零常数列既是等差数列又是等比数列，

公差为0,公比为1.

探究新知

等差中项

如果三个数a,A,b组成等

差数列，那么A叫做a和b的

等差中项.

a,A,b成

等差数列(A=“2

探究新知

探究2:类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗?

等比中项

如果三个数a,G,b组成等

比数列，那么G叫做a和b的等比中项.

注意：若a,b同号，则有两个等比中项；若a,b异号，则无等比中项.

G²=a·b

即G=±√ab

a,G,b成

等比数列→

定义关系

探究新知

探究3:类比等差数列的通项公式，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗?

等差数列

∵a₂=a₁+d,

a₃=a₂+d=a₁+2d,

a₄=a₃+d=a₁+3d,

∴a=a₁+(n-1)d

等比数列

∵a₂=a₁9,

a₃=a₂q=a₁q²,

a₄=a₃q=a₁q³,

n-1

二a₁9

不完全归纳法

累乘，得

∴a=a₁9

n-1

累加，得a,-a₁=(n-1)d

∴a=a₁+(n-1)d

探究新知

累乘法

等差数列

等比数列

等比数列的通项公式：a=a₁q”-l

思考：已知等比数列的第m项a,公比为q,求通项公式a

.

n-M

探究新知

例1:在等比数列{a,}中，

(1)a₁=1,a₄=8,求a,;

(2)a₄=625,q=5,求a₁;

(3)a₂+a₅=18,a₃+a₆=9,a,=1,求n.

典例分析

例2若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12,求{an}的第5项.

变式练习：若48和12分别是第4项和第8项，求第6项.

典例分析

课前练习：

1、已知等比数列{a,}的前3项和为168,a,-aς=42,则a₆