第七节-方向导数与梯度.docVIP

本科高等数学

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第七节方向导数与梯度

㈠本课的基本要求

理解方向导数和梯度的概念并掌握其计算方法

㈡本课的重点、难点

方向导数和梯度的概念为重点、其计算方法为难点

㈢教学内容

一．方向导数

偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率。但许多物理现象告诉我们，考虑函数沿坐标轴方向的变化率是不够的。例如，热空气是向冷的地方流动，气象学中就是确定大气温度、气压沿着某些方向的变化率。因此我们有必要来讨论函数沿任一指定方向的变化率问题。

设是xoy平面上以为始点的一条射线，是与同方向的单位向量。射线的参数方程为。设函数在点的某个邻域内有定义，为上另一点，且。如果函数增量与P到的距离的比值，当P沿着趋于（即）时的极限存在，则称此极限为函数在点沿方向的方向导数，记作，即

。⑴

注意在方向导数中，由于ρ总是正的，因此是单向导数，即方向导数是函数沿射线方向的变化率。而在偏导数中，与的值则可正可负，因此，如果函数在点P沿着x轴正向，y轴正向的方向导数存在，其值就是；如果函数在点P沿着x轴负向，y轴负向的方向导数存在，其值就是。

从方向导数的定义可知，方向导数就是函数在点处沿方向的变化率。若函数在点的偏导数存在，，则

；

又若，则

。

但反之，若，存在，则未必存在。例如，在点处沿方向的方向导数，而偏导数不存在。

方向导数的几何意义：设曲面如图所示，当t自变量沿方向变化时，曲面上的点就形成一条曲线，它是曲面与过直线且垂直于xoy面的平面相交形成的曲线，这条曲线在点M处有一条半切线MT，设此半切线与方向的夹角为θ，则由方向导数的概念可得，即方向导数值等于点M处这条半切线MT在方向L上的斜率。由此可知：当时，函数在点P处沿方向是单调增加的；当时，函数在点P处沿方向是单调减少的。

例1设平面，求沿方向的方向导数。

解函数z在点沿方向的平均变化率为

由于在射线（如图）上有

所以

令，得函数z在点沿方向的方向导数为

显然，这个方向导数与点的位置无关，而只与方向角α有关，这说明平面上任一点沿同一方向的变化率是不变的，即变化是均匀的，这就是平面的特性。当然沿不同方向的变化率是不同的。

定理如果函数在点可微分，那么函数在该点沿任一方向的方向导数存在，且有。⑵其中是方向的方向余弦。

证由假设，在点可微分，故有

但点在以为始点的射线上时，应有,

。所以

这就证明了方向导数存在，且⑵式成立。

例2求函数在点沿从点到点的方向的方向导数。

解这里的方向向量为，且

而

故所求的方向导数为

例3求函数沿方向的方向导数。（解略）

偏导数也可视为方向导数。方向导数的概念可以推广到三元及三元以上的多元函数。

二．梯度

与方向导数有关联的一个概念是函数的梯度。

设二元函数在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定出一个向量，这向量称为函数在点的梯度，记作，即

如果函数在点可微分，是与方向同向的单位向量，则

其中。

这一关系表示了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系。特别，当向量与的夹角，即沿梯度方向时，方向导数取得最大值，这个最大值就是梯度的模。这就是说：函数在一点的梯度是个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向，它模就等于方向导数的最大值。

我们知道，一般说来二元函数在几何上表示一个曲面，这曲面被平面(c是常数)所截得的曲线L的方程为这条曲线L在xoy面上的投影是一条平面曲线L*（如图），它在xoy平面直角坐标系中的方程为。对于曲线L*上的一切点，已给函数的函数值都是c，所以我们称平面曲线L*为函数的等值线。

若不同时为零，则等值线上任一点处的一个单位法向量为

这表明梯度的方向与等值x线上这点的一个法线方向相同，而沿这个方向的方向导数就等于，于是

这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系。这就是说：函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同，它指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线是，梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数。

上面讨论的梯度概念可以类似地推广到三元函数的情形。设函数在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定出一个向量

这向量称为函数在点的梯度，将它记作，即

经过与二元函数的情形完全类似的讨论可知，三元函数的梯度也是这样一向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。

如果我们引进曲面为函数的等量面的概念，则可得函数在点的梯度的方向与过点的等量面在这点的法线的一个方向相同，它的指向为从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数。

例4设，求该函数在点的梯度。

例5设，求梯度。

下面我们简单地介绍数量场与向量场的概念。

如果对于空间区域G内的任