高中数学课件：3《1-4-12空间中直线平面的平行》0 (1).pptx

湖南省名师网络工作室精品课

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(第二课时)

空间中直线、平面的平行

学科：数学(人教A版)

学校：湖南省株洲市九方中学

年级：高二年级

主讲人：吴丰田

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1.4.1用空间向量研究直线、平面的

位置关系(第二课时)

空间中直线、平面的平行

学科：数学(人教A版)

学校：株洲市九方中学

年级：高二年级

主讲人：吴丰田

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复习回顾

1.空间中点、直线和平面的向量表示

·用向量表示点：OP

·用向量表示直线：OP=OA+ta

·用向量表示平面：OP=OA+xAB+yAC

,其中a是平面的法向量.

2.求直线的方向向量、平面的法向量的方法步骤

数学|高二

我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是

确定空间中的直线和平面的关键量.那么是否能用

这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关

系呢?这节课我们先来探究平行的问题。

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新知探究

探究1.直线与直线的平行

问题：如果直线l₁//l₂,那么如何利用空间向量来研

究它们的关系呢?

可以来研究两条直线的方向向量的关系。

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如图(1)所示，设u₁,u₂分别是直线l,l₂的方

向向量，由方向向量的定义可知，如果两条直线

平行，那么它们的方向向量一定平行，反过来，

如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线

l₁//l₂⇔u₁llu₂⇔3λ∈R,u₁=λu₂

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也平行.

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探究2:直线与平面的平行

问题：如果直线l与平面α平行，那么如何利用

空间向量研究它们的关系呢?

可以来研究直线的方向向量与平面的法向量的关系。

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如图(2)所示，设u是直线l的方向向量，n是平面

a的法向量，la则

(2)

l//α⇔u⊥n⇔u·n=0

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探究3:平面与平面的平行

问题：如果平面a与β平行，那么如何利用空间向量来研

究它们的关系?

可以来研究两个平面的法向量的关系。

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如图，设n₁,n₂分别是平面α,β的法向量，

a//β⇔n₁//n₂⇔3λ∈R,使得n₁=λn₂.

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典例分析

例2.证明“平面与平面平行的判定定理”:若一个平面内

的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平

行.

已知：如图，aCβ,bcβ,a∩b=P,

a/la,b/la.

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求证：a/lβ.

分析：设平面α的法向量为n,

平面β内的两条相交直线a,b的方向向量分别为u,v.

上.

依题意有

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?

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进一步可以证明n与平面β

内的任意一个向量都垂直，

即n也是β的法向量.

所以a//β.

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证明：设平面α的法向量为n,

直线a,b的方向向量分别为u,v.

因为a/la,b/la,

所以n⊥u,n⊥v.即n·u=0,n·v=0.

又因为aβ,bcβ,a∩b=P,

N

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所以对任意点Q∈β,存在x,yeR,

使得PQ=xu+yv.

从而n·PQ=xn·u+yn·v=0

即n⊥PQ.

所以，n也是平面β的法向量.

故a//β.

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例3.如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4,

BC=3,CC₁=2.线段B₁C上是否存在点P,使得

A₁P//平面ACD₁?

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例3.如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4,

BC=3,CC₁=2.线段B₁C上是否存在点P,使得

A₁P//平面ACD₁?

分析：思路一(几何方法)

在平面ACD₁找到一条直线与A₁P平行.

连接AD,A,D交AD,于点O,连接OC易证OCIIA,P

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分析题目条件：A,P//平面ACD,

建立空间直角坐标系转化为向量问题：

A₁P⊥平面ACD的法向量n

向量运算：