高中数学课件：1-2空间向量基本定理-x.pptx

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了二

高中数学

选择性必修第一册RJA

坼

7

1.2空间向量基本定理

课前预习课中探究备课素材

探究点一空间向量的基底

探究点二用基底表示空间向量

探究点三空间向量基本定理的应用

录

【学习目标】

1.在平面向量基本定理的基础上，能借助投影进行向量分解，知道空间向量

基本定理.

2.知道基底、单位正交基底，并能在选定基底下进行向量的表示及运算.

课前预习

◆知识点一空间向量基本定理

1.分向量

如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量p,存在

唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xi+yj+zk.称xi,yj,zk分别为向量p在

i,j,k上的分向量.

2.空间向量基本定理

如果三个向量a,b,c不共面那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实

数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc

我们把{a,b,c}叫作空间的一个基底,a,b,c都叫作基向量.空间任意三个不

共面的向量都可以构成空间的一个基底.

课前预习

【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)空间中的任何一个向量都可以用三个给定的向量表示.(×)

[解析]空间中的任何一个向量都可以用其他三个不共面的向量表示.

(2)若{a,b,c}为空间的一个基底，则a,b,c全不是零向量.(√)

[解析]若{a,b,c}为空间的一个基底，则a,b,c不共面，所以a,b,c全不是零向量.

(3)若向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则a与b不一定共线.

(×)

[解析]由空间向量基本定理可知，只有不共面的三个向量才可以构成空间的一个

基底，若向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则向量a,b与任何向量都共面，故a与b一定共线.

课前预习

(4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.(×)

[解析]空间的一个基底是由三个不共面的向量构成的.

课前预习

◆知识点二空间向量正交分解

1.单位正交基底

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1,那么这个基

底叫作单位正交基底，常用{i,j,k}表示.

2.空间向量的正交分解

把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫作把空间向量进行正交分解

C.OM=OA+OB+OCD.MA=3MB-MC

[解析]对于选项A,由OM=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1)⇔M,A,B,C四点

共面知，MA,MB,MC共面，故MA,MB,MC不能构成空间的一个基底；对于选

项B,D,易知MA,MB,MC一定共面，故MA,MB,MC不能构成空间的一个基底.

故选C.

◆探究点一空间向量的基底

为空间的四个点，且任意三点不共线，0为空间中一点，

构成空间的一个基底的关系式是(C)

B.MA=MB+MC

课中探究

例1(1)已知M,A,B,C

下列可能使MA,MB,MC

课中探究

(2)已知{e₁,ez,e₃}是空间的一个基底，且OA=e₁+2e₂-e₃,

OB=-3e₁+e₂+2e₃,OC=e₁+e₂-e₃,试判断OA,OB,OC能否构成空

间的一个基底.

解：假设OA,OB,OC共面，则存在实数λ,μ使得OA=λOB+μoC,即

e₁+2e₂-e₃=λ(-3e₁+e₂+2e₃)+μ(e₁+e₂-e₃)=(-3λ+μ)e₁+(λ

课中探究

变式(1)[2023·安徽安庆外国语学校月考](多选题)设{a,b,c}是空间的一

个基底，若x=a+b,y=b+c,z=c+a,则下列向量可以构成空间的一个

基底的是(BCD)

A.a,b,x