分形理论(清华课件).ppt

分形理论在新老混凝土粘结强度研究中的应用四、分形理论的应用---实例2、求分数维D可每隔一定的坐标数目，对迹线上各点坐标求得其间隔长度L。设有k个这样的间隔，根据分数维的定义，测量步距r和曲线长度L分别为：r=∑Li／(k×l0);L=∑Li．其中的Li可由下式计算：L2i=(x(i+1)-xi)2+(y(i+1)--yi)2。则分数维D的计算式：为lgL=lgL0+(1一D)lgr将测得的不同k值下的r和L代入上式中，并在与lgL-lgr坐标系下进行回归即可得到D值．与线性回归模型y=a+bx比较，可得D=1-b分形理论在新老混凝土粘结强度研究中的应用四、分形理论的应用---实例3、分析试件分数维D与新-老混凝土28d界面粘结强度fts,28d的试验结果曼德勃罗(BenoitB.Mandelbrot)，数学家，经济学家，分形理论的创始人。1924年生于波兰华沙；1936年随全家移居法国巴黎，在那里经历了动荡的二战时期；1948年在帕萨迪纳获得航空硕士学位；1952年在巴黎大学获得数学博士学位；曾经是普林斯顿、日内瓦、巴黎的访问教授，哈佛大学的“数学实践讲座”的教授，IBM公司的研究成员和会员。土木建筑材料新进展系列讲座课程目的和基本要求本课程作为用于将学生引入分形理论与应用的研究领域，了解分形理论的基本概念和特征条件，掌握分形维数的分类、特征及确定方法。土木建筑材料新进展系列讲座土木建筑材料新进展系列讲座二、分形的定义与特点三、分形维数的分类与确定方法一、基础知识四、分形理论应用土木建筑材料新进展系列讲座土木建筑材料新进展系列讲座1、是否可以发现图中的每一朵花中又有另外一朵花？2、图中每一朵花都是形状相似，只是大小不同而已？3、图像可以无限细分，仿佛无穷无尽？?请大家带着下面的问题观察下面几幅图片。从上面的图形中我们可以看出，它们具有一个共同的特征，那就是它们的形态是不光滑的，粗糙的，处于无序的，不稳定的，非平衡的和随机的状态之中，部分与整体之间具有相似的特点，而且这些是无法用传统的数学，物理学来描述的，这就是分形。分形（Fractal）：本意是不规则的、破碎的、分数的，来源于拉丁文Frangere，它是描述不规则几何形态的有效工具。曼德勃罗曾经为分形下过两个定义：①DHDT的集合A，称为分形集。其中，DH为集合A的Hausdoff维数（或分维数），DT为其拓扑维数。一般说来，DH不是整数，而是分数。②部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。定义①看起来很抽象，也不容易推广。分形的定义土木建筑材料新进展系列讲座标度不变性是指在分形上任选一局部区域，不论将其放大还是缩小，它的结构、形态、性质(功能)、复杂程度、不规则性等各种特性均不会发生变化(或者是在统计上具有这种意义)，通常把具有自相似性的尺度范围称为无标度区，这个范围一般可用特征长度来标志。对于实际的分形体来说，这种标度不变性只在一定的范围内适用。对于无标度区以外，则这种自相似的性质不复存在，因此，分形的概念亦失去意义。人们通常把标度不变性适用的空间称为该分形体的无标度空间，在此范围以外，就不是分形了。土木建筑材料新进展系列讲座标度不变性自相似性大自然的物体形态千变万化，对于这些不规则的物体形态，我们往往不能用欧式理论描述。但是如果我们从一个形体上任意选取一个局部区域，对其进行放大，再将放大后的图形与原图加以比较，我们发现它们之间形状特征呈现出令人惊讶的自相似性。举一个例子，对于一支花朵，有主干和支干，如果把支干掰下来和主干比较，那么它们之间极为相似，如果再仔细地看一看花心的话，又会发现花瓣和花瓣之间是对称的，而且也是相似的。总而言之，物质的各个部分都或多或少的具有自相似结构。当然，自然界的事物是自相似的，但并不是严格的完全的相似。它们还是有一定差别的。为了定量描述这一差别的大小，我们引入相似度，用来表示一个分形的局部与局部、局部与整体之间的相似程度。根据自相似性的程度，分形可分为有规分形和无规分形。有规分形是指具有严格的自相似性的分形，比如，三分康托集，Koch曲线。无规分形是指具有统计意义上的自相似性的分形，比如，曲折绵长的海岸线，漂浮的云等。土木建筑材料新进展系列讲座有规分形实例---三分康托集1883年，由德国数学家康托(G.Cantor)提出的三分康托集。虽然很容易构造，它却显示出许多最典型的分形特征。它是从单位区间出发，再由这个区间不断地去掉部分子区间的过程。三分康托集的构造过程构造出来的(如右图)。其详细构造过程是：第一步，把闭区间[0，1]平均分为三段，去掉