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求通项公式专题

通项公式求解方法大全:

我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。

一、观察法

已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而

根据规律写出此数列的一个通项。

例1.已知数列试写出其一个通项公式：__________（答：）

例2、

(1)观察数列的结构特征，每一项都是一个分式，分母是数列2，4，8，16，32，…，可用项数表示为分子是数列1，3，7，15，31，…，每一项比对应的分母少1，可用项数表示为所以，所求的数列的通项公式是

(2)这个数列即：其结构特征是：①分母与项数相同；②分子是2加上或减去l，即③各项的符号为负、正相间，即为所以，所求的通项公式是

(3)观察数列的项，这个数列可以按分母、分子由小到大重新排列为：分母、分子各自成等差数列，显然，其通项公式为

(4)每一项都是项数的平方加上1，其通项公式为

(5)通项公式是

(6)仔细观察各项，不难发现其项与项之间有如下规律：

二、递推公式法

类型1

解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1.已知满足，而且，求通项。

解∵是首项为1，公差为2的等差数

列，于是有

把个等式相加得

。

解法3设递推式化为

整理比较得，即

于是得

所以是公比为3的等比数列，其首项为

，即。

解法4

评注解法1、2、3称为构造法，但法1与法3构造出的等比数列不同，各有千秋；解法4称为迭代法，对很多递推式求通项公式都适用，应认真理解掌握。

类型4（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：

引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。

例1、已知中，，求通项

解在两边同乘以得

，令

则

类型5递推公式为（其中p，q均为常数）。

解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为

其中s，t满足

解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。

方法：变形为，即，

若有解，解得，于是数列是公比为的等比数列，即转化为前面的类型，从而达到求解的目的。

例1、已知数列中，，求

解：由，

故化为

所以数列是公比为的等比数列，首项是

所以，

所以

类型6．递推式为。

例1、在数列中，表示其前项的和，且，求通项。

解当时，。

当时，，又，

故

类型7递推公式为与的关系式。(或)

解法：这种类型一般利用与消去或与消去进行求解。

例1、在数列中，表示其前项的和，且，求通项。

解由…①…②两式相减得

即

所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，

故得。

类型8

解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。

例1数列：，求.

解：设，将代入递推式，得

…（１）则,又，故

代入（１）得

说明：（1）若为的二次式，则可设

;(2)本题也可由

,（）两式相减得转化为

求之.

类型9

解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。

例1、在数列中，，求通项公式。

解由题意知数列中的各项均为正数，即，对等式取以3为底的对数，得，则有，进而可知数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。

类型10

解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。

例1、在数列中，当时，求通项。

解由，

所以是以为首项，以为公差的等差数列。

所以，即。

评注：在递推关系，若，对其取倒数后得到等差数列；若，取其倒数后得到一个新的递推式，其解法于后。

例2、已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式。

解将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.

类型11

解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。

类型12不动点法

对于数列，是常数且）

其特征方程为，变形为…②

若②有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值．

这样数列是首项为，公比为的