高中数学高三第九章计数原理与概率、随机变量及其分布分类加法计数原理与分步乘法计数原理【素材】.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

学必求其心得，业必贵于专精

学必求其心得，业必贵于专精

第九章计数原理与概率、随机变量及其分布

9。1分类加法计数原理与分步乘法计数原理考向归纳

考向1分类加法计数原理

1．满足a，b∈｛－1,0,1,2},且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对（a，b）的个数为（)

A．14 B．13

C．12 D．10

【解析】①当a＝0时,方程为2x＋b＝0，此时一定有解，

此时b＝－1，0，1，2,有4种可能；

②当a≠0时，则Δ＝4－4ab≥0,ab≤1,

若a＝－1时，b＝－1,0,1，2,有4种不同的选法；

若a＝1时,b＝－1，0，1，有3种可能；

若a＝2时，b＝－1，0，有2种可能．

∴有序数对(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13（个）．故选B.

【答案】B

2．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本,则不同的赠送方法共有（)

A．4种 B．10种

C．18种 D．20种

【解析】赠送一本画册，3本集邮册．需从4人中选取一人赠送画册，其余送邮册，有Ceq\o\al(1，4）种方法．

赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人送画册，其余2人送邮册,有Ceq\o\al(2,4）种方法．

由分类加法计数原理，不同的赠送方法有Ceq\o\al(1,4）＋Ceq\o\al(2，4）＝10(种）．

【答案】B

分类计数原理中分类标准的确定

分类标准是运用分类计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置．

1．根据题目特点恰当选择一个分类标准，分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法．

2．分类时，类与类之间是独立的,每类做法中的每种方法都能完成这件事．

考向2分步乘法计数原理

(1）（用0，1,…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为________．

(2)有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？（不一定六名同学都能参加）

①每人恰好参加一项，每项人数不限；

②每项限报一人，且每人至多参加一项；

③每项限报一人，但每人参加的项目不限．

【解析】（1)(间接法）用0,1，…，9可组成9×10×10＝900（个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648（个)．所以有重复数字的三位数有900－648＝252（个）

【答案】252

(2）①每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有36＝729种．

②每项限报一人，且每人至多参加一项,因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120种．

③每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有63＝216种．

元素可重复选取的计数问题

一类元素允许重复选取的计数问题，可以采用分步乘法计数原理来解决，关键是明确要完成的一件事是什么．也就是说，用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据．

［变式训练］

1．4张卡片的正、反面分别写有0与1，2与3,4与5，6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成不同的三位数有________个．

【解析】分三步，分别排出百位、十位、个位上的数字．

第一步：百位数字有3×2＋1＝7种放法．

第二步：十位数字有2×3＝6种放法．

第三步：个位数字共有4种放法．

由分步乘法计数原理，可组成7×6×4＝168个三位数．

【答案】168

2．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军（冠军不并列),获得冠军的可能性有________种．

【解析】五名学生参加四项体育比赛，每人限报一次,可逐个学生落实,每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性．

【答案】4554

考向3两个计数原理的综合应用

(1）如图,矩形的对角线把矩形分成A，B,C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色,每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有________种不同的涂色方法．

(2）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________个．

【解析