高中数学高三第九章计数原理与概率、随机变量及其分布离散型随机变量及其分布列【素材】.docxVIP

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第九章计数原理与概率、随机变量及其分布

9.7离散型随机变量及其分布列考向归纳

考向1离散型随机变量分布列的性质

1。设X是一个离散型随机变量，其分布列为：

X

－1

0

1

P

eq\f(1,2)

1－2q

q2

则q等于（）

A．1 B．1±eq\f（\r(2），2）

C．1－eq\f(\r（2）,2) D．1＋eq\f(\r（2),2)

【解析】由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（1－2q≥0，,\f(1,2)＋?1－2q?＋q2＝1，））

即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（q≤\f(1，2），，2q2－4q＋1＝0，))解得q＝1－eq\f（\r(2),2)。

【答案】C

离散型随机变量分布列性质的应用

利用分布列中各概率之和为1,可求参数的值，此时应利用各概率均为非负数来检验所求结果．

考向2离散型随机变量的分布列

1。（2015·安徽高考)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．

(1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

（2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元）,求X的分布列和均值(数学期望）．

【解】（1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A）＝eq\f（A\o\al(1,2)A\o\al(1，3），A\o\al(2,5))＝eq\f(3，10).

（2)X的可能取值为200,300，400.

P（X＝200）＝eq\f（A\o\al（2,2),A\o\al(2,5）)＝eq\f（1,10），P(X＝300）＝eq\f（A\o\al（3,3)＋C\o\al（1,2）C\o\al（1,3)A\o\al（2,2），A\o\al（3，5））＝eq\f(3,10)，

P（X＝400)＝1－P（X＝200）－P(X＝300)＝1－eq\f(1，10）－eq\f（3，10）＝eq\f（6，10）.

故X的分布列为

X

200

300

400

P

eq\f（1,10）

eq\f(3,10）

eq\f(6，10）

E(X)＝200×eq\f（1，10）＋300×eq\f(3，10）＋400×eq\f（6，10)＝350。

求随机变量的分布列的三个步骤

1．找:理解并确定ξ＝xi的意义，找出随机变量ξ的所有可能的取值xi（i＝1,2,…,n）．

2．求：借助概率的有关知识求出随机变量ξ取每一个值的概率P（ξ＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n）．注意应用计数原理、古典概型等知识．

2．列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质．

［变式训练]

1.(2015·重庆高考）端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．

（1）求三种粽子各取到1个的概率;

（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．

【解】（1）令A表示事件“三种粽子各取到1个，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝eq\f(C\o\al（1,2）C\o\al（1，3)C\o\al（1,5),C\o\al（3，10)）＝eq\f（1，4).

(2）X的所有可能值为0，1，2,且

P(X＝0）＝eq\f（C\o\al（3，8),C\o\al(3,10)）＝eq\f（7，15），P（X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,8),C\o\al(3,10））＝eq\f(7，15)，

P(X＝2）＝eq\f(C\o\al（2,2）C\o\al(1，8)，C\o\al（3,10））＝eq\f（1，15）。

综上知，X的分布列为

X

0

1

2

P

eq\f（7，15)

eq\f（7,15)

eq\f（1,15)

故E(X）＝0×eq\f(7,15）＋1×eq\f（7,15）＋2×eq\f（1,15)＝eq\f(3，5）(个）．

考向3超几何分布

1.PM2。5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2。5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标．

从某自然保护区2014年全年每天的PM2。5监测数据中随机地抽取10天的数