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湖南省邵阳市2024届高三上学期1月第一次联考（一模）数学试题

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合A={x∣x=3n+1，n∈N}，

A．1 B．2 C．3 D．4

2．若i(1+z)=1（i为虚数单位），则z+z

A．-2 B．-1 C．1 D．2

3．命题“?x∈R，

A．?x∈R，x2

C．?x∈R，x2

4．若抛物线y2=2px(p0)上一点M(3

A．34 B．43 C．23

5．城步苗族自治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一，至今已举办25届.假设在即将举办的第26届“六月六山歌节”中，组委会要在原定排好的10个“本土歌舞”节目中增加2个“歌王对唱”节目.若保持原来10个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为（）

A．110 B．144 C．132 D．156

6．已知向量a=(t，2)，b=(2，?1).若

A．52 B．?52 C．3

7．在某次美术专业测试中，若甲?乙?丙三人获得优秀等级的概率分别是0.

A．1529 B．78 C．58

8．已知a=10lg4，

A．abc B．acb C．bca D．cba

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．已知平面直角坐标系中，M(?2，0)，N(2，0)，动点P(x，y)满足|PM|=2|PN|，点

A．曲线C的方程为(x?6)2

C．曲线C的方程为(x+6)2

10．下列命题中，说法正确的有（）

A．设随机变量X～B(10，1

B．成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数r越接近于1

C．决定系数R2

D．基于小概率值α的检验规则是：当χ2?xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2

11．已知函数f(x)与其导函数g(x)的定义域均为R，且f(x)?x与g(1?2x)均为偶函数，则下列说法一定正确的有（）

A．f(x)关于x=1对称 B．f(x)x关于点(0

C．g(x+2)+g(x)=2 D．f(0)=1

12．如图所示，四边形ABCD是长方形，AB=3，BC=4，半圆面APD⊥平面ABCD.点P为半圆弧AD上一动点（点P不与点

A．三棱锥P?ABD的四个面都是直角三角形

B．三棱锥P?ABD体积的最大值为4

C．异面直线PA与BC的距离的取值范围为[4

D．当直线PB与平面ABCD所成角最大时，平面PAB截四棱锥P?ABCD外接球的截面面积为15π

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知数列{an}的首项为1，an

14．已知(1+x)8=

15．已知3sinφ?3cosφ=2sinα，

16．已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，它们的离心率分别为e1，e2，点P为它们的一个交点，且

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤）

17．甲?乙?丙三名同学准备参加本校知识竞赛，规定比赛成绩达到90分以上（含90分）获优秀等级.为预测他们的知识竞赛情况，收集了甲?乙?丙三人在学校的以往知识竞赛成绩，整理得到如下数据（单位：分）：

甲：86，

乙：88，

丙：96，

假设用频率估计概率，且甲?乙?丙的知识竞赛成绩相互独立.

（1）估计甲在本次知识竞赛中未获优秀等级的概率；

（2）设X表示甲?乙?丙三人在本次知识竞赛中获得优秀等级的总人数，估计X的数学期望EX.

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，

（1）求证：tanB=3tanA；

（2）延长BC至点D，使得|DA|=|DB|.当∠DAC最大时，求tanD的值.

19．如图所示，圆台的上?下底面圆半径分别为4cm和6cm，

（1）求证：A1

（2）截面ABB1A1与下底面所成的夹角大小为60°，且截面截得圆台上底面圆的劣弧

20．已知递增的等差数列{an}(n∈

（1）求数列{a

（2）记Sn为数列{an}的前n项和，bn=S

21．已知椭圆C：x2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）如图所示，点A是椭圆C的右顶点，过点(6，0)的直线l与椭圆C交于不同的两点E，F，且都在x轴的上方，点P的坐标为

22．已知函数f(x)=3lnx+ax

（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）当a=12时，方程f(x)=0有三个不相等的实数根，分别记为

①求b的取值范围；

②证明|x

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】A

3．【答案】B

4．【答案】C

5．【答案】C

6．【答案】D

7．