【作用】抽象代数自选题 .pdf

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【关键字】作用

自选题目：

1、设是一个群，证明：（1）在中，阶大于2的元素的个数一定是偶数；

（2）在中，阶等于2的元素的个数与的阶有相反的奇偶性。

2、证明：6阶交换群是循环群

3、设，且证明。

4、设M，N是群的正规子群，证明：

（1）；

（2）是的正规子群；

（3）若

5、设是一个素数，是的方幂阶的群，试证的非正规子群的个数一定的的倍数。

6、证明148阶群不是单群。

7、设是素数，则阶群是Abel群。

8、设是阶群，，为不同素数。证明：不是单群。

9、设，分别为，阶循环群，证明：.

10、若群中元素的阶为，元素的阶为，则当且时，有

，即.

11、设群中元素的阶为，证明.

12、设，是群的两个正规子群，且二者的交为，证明：与中的元素相乘时可换.

13、设是包含在群的中心内的一身材群，证明：当是循环群时，是交换群.

14、证明：时个轮换是的一组生成元。

15、证明：同构意义下，6阶群只有与.

16、设为素数，证明：阶群为群.

17、若G是由a,b生成的群，且=e，，证明：G为Abel群。

18、设f：G→H是群同态，若g是G的一个有限阶元。试证:f(g)的阶整除g的阶。

19、证明：任意一个群G，都不能被它的两个真子群覆盖。

20、设M◁G,N◁G。若M∩N={e},证明：,有

21、设是一个群，而是中任意一个固定的元素。证明：对新运算也作成一个群。

22、证明：1）在一个有限群里，阶数大于2的元素的个数一定是偶数。

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2）偶数阶群中阶等于2的元素的个数一定是奇数。

23、证明：交换群中所有有限阶元素作成一身材群。对非交换群如何？

24、设分别是群的两个与阶子群，证明：若，则

25、设是群的一身材群，，证明：且。

26、证明：若群的阶子群有且只有一个，则此子群必为的正规子群。

27、或

28、

29、令G是实数对（a,b），a0的集合，在G上定义（a,b）（c,d）=(ac,ad+b)，试证G是群。

30、设G是一个群，a,bG，证明：=

31、证明：任何群都不能是两个真子群的并。

32、试证没有6阶子群。

33、设群G作用在集合上，令t表示在G上的作用下的轨道个数，对任意gG，表示在g作

用下的不动点个数。试证：。

34、设是大于1的奇数，是循环群。

35、一个有限群的每个元素的阶都有限.

36、假如和是一个群的两个元，并且ab=ba，又假定，，且.证明：.

37、设是群到群的同态，证明：.

38、设是群，是交换群.是到的同态，且.证明:.

39、设是群的子集.证明：若关于的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集，则.

40、设是有限群的一身材群，又，证明：若不能整除，则.

41、设是群.,.且.证明：.

42、证明6阶群必存在一个3阶子群。

43、举例说明若，不一定有。

44、，证明。

45、，证明。

46、证明有限群G有唯一Sylowp-子群L的充要条件是。

47、设，，若存在，使得，则

48、设，，且，是单位元，则对任何，，有。

49、证明交换群的商群是交换群。

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50、设是循环群，是与的满同态，证明也是循环群。

51、证明交换群中所有有限阶的元素构成的一个子群

52、当时，试证n-2个3轮换，，…,是的生