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第三节误差传播定律

§5-3误差传播定律

在测量工作中一般采用中误差作为评定精度的指标。

误差传播定律：

说明观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律。

间接观测量:

在实际测量工作中，往往会碰到有些未知量是不可能或者是

不便于直接观测的,

则：由直接观测的量，通过函数关系间接计算得出的量称

为～。

例如：用水准仪测量两点间的高差h，通过直接观测值后视读

数a和前视读数b来求得的高差：h=a－b。

间接观测量的误差：

由于直接观测值(a、b)中都带有误差,因此间接观测量——函

数(h)也必然受到影响而产生误差。

一、误差传播定律?

设Z是独立观测量x1，x2，…，xn的函数，即

式中：x1，x2，…，xn为直接观测量，它们相应的观测值的

中误差分别为m1，m2，…，mn，则观测值的函数Z的中误差

为:

式中为函数Z分别对各变量xi的偏导数，并将观测值

〔xi=Li〕代入偏导数后的值，故均为常数。

求任意函数中误差的方法和步骤如下：

列出独立观测量的函数式：

求出真误差关系式。对函数式进行全微分，得

求出中误差关系式。只要把真误差换成中误差的平方，系数

也平方，即可直接写出中误差关系式：

表5-2常用函数的中误差公式

二、应用举例

【例5-2】在比例尺1：500的地形图上，量得两点的长度

d=23.4mm，其中误差md=±0.2mm，求该两点的实际距

离D及其中误差mD。

解：函数关系式：D=Md，属倍数函数，M=500是地形图比例

尺分母。

两点的实际距离结果可写为：11.7m±0.1m。

【例5-3】水准测量中，已知后视读数a=1.734m，前视读

数b=0.476m，中误差分别为ma=±0.002m，mb=±0.003m，

试求两点的高差及其中误差。

解：函数关系式为h=a-b，属和差函数，得

两点的高差结果可写为1.258m±0.004m。

【例5-4】在斜坡上丈量距离，其斜距为L=247.50m，中误

差mL=±0.05m，并测得倾斜角α=10°34′，其中误差

mα=±3′，求水平距离D及其中误差mD

解:1〕首先列出函数式

2〕水平距离

这是一个非线性函数，所以对函数式进行全微分，

3〕先求出各偏导值如下

4〕写成中误差形式：

5〕得结果：D=243.30m±0.06m。

【例5-5】

图根水准测量中，已知每次读水准尺的中误差为m读=±2mm，

假定视距平均长度为50m，假设以3倍中误差为容许误差，

试求在测段长度为Lkm的水准路线上，图根水准测量往返测

所得高差闭合差的容许值。

解:1)每站观测高差为：h=a-b

2)每站观测高差的中误差：

因视距平均长度为50m，则每公里可观测10个测站，L公里

共观测10L个测站，L公里高差之和为：

L(km)高差和的中误差为：

往返高差的较差〔即高差闭合差〕为：

高差闭合差的中误差为：

以3倍中误差为容许误差，则高差闭合差的容许值为：

在第二章中，取(5-3-41.4)作为闭合差的容许值是考虑了除

读数误差以外的其它误差的影响〔如外界环境的影响、仪器

的i角误差等〕。

三、注意事项

应用误差传播定律应注意以下两点：

1．要正确列出函数式

例：用长30m的钢尺丈量了10个尺段，假设每尺段的中误

差为ml=±5mm，求全长D及其中误差mD。

1〕函数式D=10l=10×30=300m

按倍数函数式求全长中误差，将得出

2〕实际上全长应是10个尺段之和，故函数式应为

用和差函数式求全长中误差，因各段中误差均相等，故得全

长中误差为

按实际情况分析用和差公式是正确的，而用倍数公式则是错

误的。

2．在函数式中各个观测值必须相互独立，即互不相关。

如有函数式：z=y1+2y2=1(a)

而：y1=3x;y2=2x+2(b)

假设已知x的中误差为mx，求Z的中误差mz。

1〕直接用公式计算,由〔a〕式得：

由〔b〕式得：

代入〔c〕式得

〔上面所得的结果是错误〕

上面的结果为什么是错误的？

因为y1和y2都是x的函数，它们不是互相独立的观测值，

因此在〔a〕式的基础上不能应用误差传播定律。

正确的做法是：先把(b)式代入(a)式，再把同类项合并，然

后用误差传播定律计算。