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高立东2012012236数学建模

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东北师范大学本科生2014年下半学期期末作业

题目数学建模论文

课程名称数学建模

姓名高立东学号2012012236

专业数学与应用数学年级2012级

院、所数学与统计学院年月日DATE\@M/d/yyyy12/26/2014

选题

A

1

?

B

1

?

2

?

C

1

?

2

?

（一）布条缠绕管道问题

问题描述

用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重不裁剪，问布条与管道轴线的夹角a应多大,若知道管道长度需多长布条？

问题分析

这是一个实际问题，我们可以自制一个纸条代替布条做一个实验。找一根长度固定圆柱体比如粗细比较均匀的笔筒把纸条缠在上面。我们发现在不使纸条发生褶皱的情况下纸条要么能完全覆盖住笔筒，要么不能完全覆盖笔筒。即如图所示两种情况

（图例一）

对于以上两种情况我们可以对缠绕时的角度变化做一个细致的分析当角度α比较小时会出现下面的情况

这时A和B不重合我们缠绕圆柱体时会出现图例一中的第一种情况，纸条最终不能完全覆盖住圆柱体。于是我们调整角度α，发现当A和B重合于M时纸条才能完全覆盖住圆柱体。

因此可以考虑到当纸条宽度和圆柱体的直径固定时只有当α为一个特定的角度时才能使纸条完全覆盖住圆柱体。

建立模型

设布条宽度为w圆柱体直径为d,现在来找出α与w和d之间的关系。于是将绕在柱体上的那部分展开可得到下图为一个平行四边形。

得到w=πdcosαα=cos-1wπd,

若管道长为l将绕在柱体上面的布条展开,其每一圈都如上图所示那么布条的面的为s=πdl,那么可得纸条的长度为sw

模型应用

对于缠绕布条的问题通过模型会发现不管柱体形状如何只要粗细均匀，我们用如上模型可以把绕在柱体上的每一圈都可展开为相同的一个平行四边形相应的平行四边形的高为柱体的周长πd。相应的可计算出布条的长和角度α，只需把原来公式中柱体的直径替换为现有柱体的直径。

（二）保姆问题

问题提出

一家保姆服务公司专门向辅助提供保姆服务。根据估计，下一年的需求是：春6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。公司13C类题目2新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天。保姆从该公司而不是雇主那里得到报酬，每人每月工资800元。春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后，将有15%保姆自动离职。

（1）如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划？

（2）如果公司在每个季度结束后允许解雇最多5%保姆，请为公司制定下一年的招聘计划。

问题（1）

模型分析

公司为了利益最大化要在满足每季度保证保姆的需求量的同时保证招的保姆数量尽可能的少，于是我们可以建立一个规划的模型使得保姆数量为目标函数。每个季度会有15%的保姆辞职，公司为了保证需求量还会招进一定数量的保姆。于是我们可以设4个季度开始时保姆数量为S1、S2、S3、S4，公司招在4个季度分别招进来的保姆数量为X1、X2、X3、X4。要使得目标函数S1+S2+S3+S4最小，于是我们可以建立以下模型。

模型建立

目标函数：S1+S2+S3+S4

三个季度要在保姆（包括新招进公司的保姆）工作65天的情况下要达到规定的工作量所以有：

65S1≥6000+5X1

65S2≥7500+5X2

65S3≥5500+5X3

65S4≥9000+5X4

且：S1=120+X1、S2=0.85S1+X2、S3=0.85S2+X3、S4=0.85S3+X4；

S1、S2、S3、S4、X1、X2、X3、X4?0

接下来用LINGO软件进行求解

min=S1+S2+S3+S4;

65*S1=6000+5*x1;

65*S2=7500+5*x2;

65*S3=5500+5*x3;

65*S4=9000+5*x4;

S1=120+x1;

S2=0.85*S1+x2;

S3=0.85*S2+x3;

S4=0.85*S3+x4;

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:478.5107

Totalsolveriterations: