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最大公约数和最小公倍数

学科：奥数

教学内容：第5讲最大公约数与最小公倍数

知识网络

（1）整数a能被整数b（不为零）整除，数a就是数b的倍数，数b就是数a的约数。

（2）几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数，公约数的个数是有限的，其中最大的一个叫这几个数的最大公约数。

若，，…，的最大公约数是d，则可记为

（）=d

（3）几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，公倍数可以有无限多个，但其中有一个最小，这个最小的就叫做这几个数的最小公倍数。

若自然数的最小公倍数是m，则可记为

［］=m

（4）最大公约数的性质

1）两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数，即：如果（a，b）=d，c|d，那么c|a，c|b。

2）两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商一定是互质的，即：

如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）=1

（5）最小公倍数的性质

1）两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，即：

若（a，b）=d，[a，b]=m，则dm=ab，且d|m

2）若一个数c能同时被两个自然数a、b整除，那么c一定能被这两个数的最小公倍数整除。或者说，一些数的公倍数一定是这些数的最小公倍数的倍数。即：

若[]=m，而，，…，，那么m|N。

（6）以下两点需要特别注意：

l）数a是数b的倍数，数b就是数a的约数，它们的最大公约数是b，最小公倍数是a。

2）若两个数互质，则它们的最大公约数是1，最小公倍数是它们的积。

（7）求最大公约数常用的方法有：列举法，分解质因数法，短除法，辗转相除法。

（8）求最小公倍数常用的方法有：列举法，分解质因数法，短除法，最大公约数法。

约数有：1、30，2、15，3、10，且每对中两个约数的积就是自然数本身。

（4）对一个完全平方数来说，例如，由于它是6的平方，所以它有一个约数正好是6，与之配对的约数仍是6，其余的约数配对后，每组中有一个小于6的约数，另一个是大于6的约数。

（5）非完全平方数的约数是偶数个，完全平方数的约数是奇数个。

（6）有关最大公约数与最小公倍数的问题，其叙述方式是多种多样的，在解题时一定要认真审题，不能简单地在题中看到“最多”就认为是求最大公约数，看到“最少”就认为是求最小公倍数。

（7）解答问题一般都有多种解法，请同学们一定选择快捷简便而又适合自己思路的方法。

（8）为了更好地解决有关最大公约数、最小公倍数的问题，还必须掌握有关整除的知识。

经典例题

［例1］已知两个自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84，求这两个自然数各是多少？

解答

不妨设这两个自然数为a、b，若（a，b）=m，则，且（）=1。

由题意可知a+b=60，即

所以。

又因为，故得知m为60、84的约数。

而（60，84）=12，所以m只可取l、2、3、4、6、12六种可能值，但当m取1、2、3、4、5、6时均不能满足和。

所以m仅能取12，则=60÷12=5

若、分别取2、3时，则相对应的a、b值为24和36。

答：这两个自然数为24和36。

[例2]求180、840、300的最大公约数。

解答

☆解法一：根据最大公约数的定义，把三个数分别分解质因数，取出全部公共的质因数，每个公共的质因数取出现的最低次数，把这些公共质因数的乘方相乘即得最大公约数。

把180、840、300分解质因数：

，，

取各公共质因数2、3、5出现的最低次数，则180、840、300的最大公约数为。

☆解法二：短除法。用三个数的大于1的公约数作除数，除到最后三个商互质为止，各除数相乘之积就是要求的最大公约数。

180、840与300的最大公约数为2×2×3×5=60。

［例3］求68、72、84的最小公倍数。

解答

☆解法一：根据最小公倍数的定义，把三个数分别分解质因数，取出全部质因数，且各质因数取出现的最高次数，然后相乘即得最小公倍数。

把68、72、84分解质因数：

取全部质因数2、3、7、17出现的最高次数，便得68、72、84的最小公倍数为

☆解法二：应用短除法，先用三个数的大于1的公约数去除，除到三个商互质时，再用两个数的大于1的公约数去除，除到三个商两两互质时为止，最后把所有除数及最末的三个商相乘就得到要求的最小公倍数。

68、72与84的最小倍数为

2×2×3×17×6×7=8568

［例4］求1903与2249的最大公约数。

思路剖析

不容易直接看出1903与2249的大于1的公约数，所以可先求2249除以1903的余数r，所以（2249，1903）=（1903，r）；如果1903不是r的倍数，再对1903与r做除法，然后把求1903与r的最大公约数转化为求更小的一对数的最大公约数，这样反复