数学思维之多视角思维.pdf

数学思维之多视角思维

横看成岭侧成峰，远近高低各不同，不识庐山真面目，只缘身在

此山中。

如同观景一样，当我们观察事物，考虑问题时，所站的角度不同，

相应的结果也不同。

多视角思维是多视角、多维度、多模式的发散思维，培养发散思

维，关键是要会变化，从多个维度中寻求变化点。

这里用头条一位老师的初中几何题为例，一题多解来阐述多视角

思维，体会数学解题思维过程中如何运用和领悟数学思想方法。

图一

方法一

如下图二，连接OC，作FC垂直于OC，且FC=OC。出现”手拉

手”模型，易证三角形FCB全等于OCD,故OD=FB。OF=根号2，由

FB=OF+OB，可得FB最大值为根号2+1，此时F、O、B三点共

线，对应的C点在AB半圆弧的1/2处，故OD最大值为根号2+1。

图二

这个方法是头条上这位老师提供的，只有一种，我们下面基于多

视角思维，一题多解，得到如下多种方法。

方法二

如图三，角CBD为45度，DB/CB=根号2,。根据数学思维体系

中的变换思想视角，转译或等价变更这道数学题的描述，题目中通过

作正方形BCDE产生D点，等价于从C点到D点的变换：旋转变换加

位似变换。也就是对AB圆弧上的每一个点C作以B为旋转中心的顺

时针45度的旋转变换，之后再作以B为位似中心，位似比为根号2的

位似变换。

其实这些变换不仅只施加于AB圆弧上的点，扩大范围，它其实是

施加于平面上的所有点。圆心O经过变换后变到O1点，角O1BO=45

度，O1B/OB=根号2，易知O1点为AB圆弧的中点。C点轨迹为AB

半圆弧，根据合情合理的推理，我们可猜测D点轨迹是圆心为O1的

半圆弧，该圆弧的两端分别为A和B经过变换后的对应点D0和B，其

中A对应D0，B对应自己，也就是D0B圆弧是D点的轨迹，如图四，

半径O1B=根号2。这也是旋转变换和位似变换的性质，它们不改变图

形的形状，故圆弧经过变换后，仍是圆弧。

此外从个体的点到点的集合(整体)，对单个点C作旋转与位似变换，

相当于对整个圆弧作变换。

图三

图四

由图四易知当O、O1、D三点共线时OD取最大值根号2+1。

上面是根据”变换思想”、对应思想、合情合理推理进行的解题

探索过程，通过这个探索，我们可推测D点轨迹为半圆弧，圆心为

O1(它是AB圆弧中点，O1O垂直于AB，角O1BO=45度),半径为

O1B=根号2，这是草稿纸上的探索过程，书面上严谨的正式的解题过

程如下：

如图三，取AB圆弧中点O1，则O1O垂直于AB,角O1BO=45

度。O1B/OB=BD/CB=根号2,角ABC=O1BD，故三角形O1BD相似

于OBC，故O1D/OC=根号2，O1D=根号2，即D点到定点O1的

距离为定值根号2，又C点轨迹为AB半圆弧，故D点轨迹为D0B半

圆弧(圆心为O1,半径为根号2)，圆弧端点D0对应A点，如图4。由

图4可知当O、O1、D三点共线时OD取最大值=O1D+OO1=根号

2+1.

草稿纸上探索D点轨迹圆心和半径的思维过程才是重点和难点，

正式的解题方法不难，只关注解题方法而不推敲和体会探索解题方法

的思维过程是买椟还珠，舍本逐末。

对这道题，除了”变换思想”，还要体会对应思想、合情合理的

推理、以及临界点思想在解题思维过程中的运用，对每道有价值的题，

都要争取从中领悟数学思想方法，锻炼数学思维，这才是重点，具体

的解题方法是其次，例如方法1和方法2。