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初中数学教案-正方形

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科目

数学

年级

八·下

编写人

修订人

教学内容

18.2.3正方形

教学目标

知识与技能

掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．

过程与方法

理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。

情感态度

与价值观

通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力

教学重点

正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系

教学难点

正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用

教学方法

导学法讲授法

媒体设计

多媒体

师生活动

备注

教学过程

1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．

学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？

正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：

（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）

（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）

2．【问题】正方形有什么性质？

由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．

所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．

例习题分析

例1（教材P58的例5）求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．

已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．

初中数学教案-正方形全文共2页，当前为第2页。求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．

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证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AC=BD，AC⊥BD，

AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．

∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，

并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．

例2（补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．

求证：OE=OF．

分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．

又DG⊥AE，∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．

∴∠EAO=∠FDO．

∴△AEO≌△DFO．

∴OE=OF．

例3（补充）已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．

求证：四边形PQMN是正方形．

分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．

证明：∵PN⊥l1，QM⊥l1，

∴PN∥QM，∠PNM=90°．

∵PQ∥NM，

∴四边形PQMN是矩形．

∵四边形ABCD是正方形

∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．

∴∠1+∠2=90°．

又∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3．

∴△ABM≌△DAN．

初中数学教案-正方形全文共3页，当前为第3页。∴AM=DN．同理AN=DP．

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∴AM+AN=DN+DP

即MN=PN．

∴四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．

随堂练习

1．正方形的四条边______，四个角_______，两条对角线________．

2．下列说法是否正确，并说明理由．

①对角线相等的菱形是正方形；（）

②对角线互相垂直的矩形是正方形；（）

③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（）

ABCD

A

B

C

D

E

F

⑤四个角相等的四边形是正方形．（）

已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别

为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．

求证：∠AFE＝∠AEF．

4．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，

求∠EAD与∠ECD