21.3 分式方程（解析版）.pdfVIP

21.3分式方程

1．会解可化为一元二次方程的分式方程，进一步体会转化思想在解方程中的运用．

2．会用换元法解形式较复杂的分式方程和分式方程组

一可化为一元二次方程的分式方程

1.分母中含有未知数的方程叫分式方程．整式方程与分式方程统称为有理方程．

2.分式方程的重要特征是：（1）是方程；（2）方程含分母；（3）分母里含有未知数．

3.分式方程和整式方程的区别：在于分母中是否有未知数：

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分母中含有未知数的方程是分式方程，如+1=3，+=

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4.分式方程和整式方程的联系：分式方程式通过“去分母”转化为整式方程.然

后求解．

二解分式方程的基本思想

将分式方程转化为整式方程，转化的方法是方程两边都乘以最简公分母，去分

母．

三解分式方程的一般步骤

①在方程的两边同时乘以最简公分母，约去分母，得到整式方程；

②解这个整式方程；

③检验，将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为，则整式方程的解是

原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去．

增根产生的原因：

分式方程化为整式方程的过程必须两边乘以一个适当的整式．由于这个整式可能

为零，使本不相等的的两边也相等了，这时就产生了增根．所以解分式方程必须

检验，而检验的方法只需看所得的解是否使所乘的式子为零。

四无解的情况

（1）将分式方程化为整式方程后，整式方程无解．

（2）解出的整式方程的根是分式方程的增根

五用换元法解分式方程

用换元法解分式方程：当一个复杂的分式方程中有同样的式子重复出现2次或以上，可以把

这个式子当成整体、用新的元代替原方程中的这个成分、将原方程化成形式更简单的分式方

程，解出新的元的值再代回到换元式中、最后解出原方程的未知数的值。

【注意】

1.分式方程中出现了互为倒数的成分时，就要考虑用换元法．

2.换元后，要还元

用换元法解分式方程组

用换元法解分式方程组：当一个分式方程组中有同样的分式重复出现2次或以上，可以把这

个分式当成整体，用新的元代替原方程中的这个成分，将原方程组化成形式更简单的整式方

程组，解出新的元的值再代回到换元式中，最后解出原方程组的未知数的值．

【注意】换元后，要还元．

题型一分式方程的概念

【例题1-1】下列方程中，是分式方程是（）．

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】根据分式方程定义分析即可．

【详解】解：A.是分式方程，符合题意；

B.是一元二次方程，不是分式方程；

C.是一元一次方程，不是分式方程；

D.是二元一次方程，不是分式方程；

故选：A．

【点睛】本题考查分式方程的定义（分母中含有未知数的方程叫做分式方程），掌握分式方

程的定义是解题的关键．

【例题1-2】下列式子中是分式方程的是（）

A．B．

C．1D．x

【答案】C

【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断．

【详解】A、不是等式，故不是分式方程；

B、分母中不含未知数，也不是分式方程；

C、方程分母中含未知数x，是分式方程；

D、分母中不含未知数，也不是分式方程；

故选：C．

【点睛】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否

含有未知数．

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【例题】下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有

（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

【答案】C

【分析】根据分式方程的定义对各小题进行逐一分析即可．

【详解】①的分母中含有未知数，是分式方程；

②是整式方程；

③是整式方程；

④的分母中含有未知数，是分式方程．

故选：C．

【点睛】本