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上海市金山中学2023-2024学年高一下学期5月月考试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知集合，则.

2．已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为.

3．不等式的解集为．

4．函数的最小正周期为.

5．在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点，，则的值为.

6．已知复数为虚数单位，若的模为20，实数的值为.

7．方程的实数解为.

8．已知复数满足，则的最小值为．

9．若函数有2个零点，则m的取值范围是．

10．已知点，将绕坐标原点逆时针方向旋转至，再将延长至，使，则点的坐标为.

11．等边的边长为2，三角形所在平面内有一动点，满足，则的最小值为．

12．函数的最大值为.

二、单选题

13．方程的一个根为，其中为虚数单位，则实数的值为（????）

A．-10 B．10 C．6 D．8

14．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，（????）

A． B． C． D．

15．已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则（????）

A． B． C． D．

16．已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（????）

A． B． C．2 D．

三、解答题

17．已知向量与的夹角为，且.

(1)求的值；

(2)若，求实数的值.

18．已知复数为虚数单位，其中是实数.

(1)若是实数，求的值；

(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围.

19．设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为已知

(1)求角B的大小；

(2)如图，在△ABC内取一点P，使得PB=2，过点P分别作直线BA、BC的垂线PM、PN，垂足分别是M、N，设∠PBA=求四边形PMBN的面积的最大值及此时的值.

20．在平面直角坐标系中，以轴的正半轴为始边作锐角和钝角，它们的终边分别与单位圆交于两点.

(1)当时，求的值；

(2)当时，求角的值；

(3)当时，记角，求满足等式的所有的值.

21．已知函数，若对于任意的实数都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”.

(1)记在上的最大值、最小值分别为，试判断“”是“为上的“完美三角形函数”的什么条件？不需要证明；

(2)设向量，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围；

(3)已知函数为（为正的实常数）上的“完美三角形函数”.函数的图象上，是否存在不同的三个点，它们在以轴为实轴，轴为虚轴的复平面上所对应的复数分别为，满足，且？若存在，请求出相应的复数，若不存在，请说明理由.

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参考答案：

1．

【分析】由交集的运算计算即可.

【详解】.

故答案为：.

2．4

【分析】由弧长公式和扇形的面积公式计算即可.

【详解】根据扇形的弧长公式可得，

根据扇形的面积公式可得．

故答案为：4.

3．

【分析】将分数不等式转换为与之等价的不等式组即可求解.

【详解】，即，则且．解得，

不等式的解集为.

故答案为：.

4．

【分析】由正切的周期公式计算即可.

【详解】.

故答案为：

5．

【分析】画出图形，由向量的加法结合平面向量的基本定理计算即可；

【详解】如图，在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点，

，且，

根据平面向量基本定理得，，

，

故答案为：.

6．

【分析】结合复数的四则运算法则，分式型复数的模长等于分子分母分别求模长再相除，可得复数的模长，然后求出的模长等于共轭复数模长20，建立关于m的方程，解方程即可求解.

【详解】

解方程得，

故答案为：.

7．

【分析】由，得，则，再解关于的二次方程即可.

【详解】由，得，

所以，即，

即，所以或（舍去），

所以.

故答案为：.

8．

【分析】根据复数的几何意义，利用数形结合，即可求解.

【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复数与复数对应两点间的距离为1，

所以复数对应的点是以点为圆心，1为半径的圆，如图，

表示圆上的点到原点的距离，由图可知，的最小值为.

故答案为：

9．

【分析】构造函数，去绝对值作出的大致图象，将零点个数转化为图象交点个数可得答案.

【详解】由，得．

设函数，作出的大致图象，如图所示．

??

函数有2个零