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四元数及其在计算机科学与工程领域中的应用汇报人：2024-01-14

四元数基本概念与性质四元数在计算机图形学中应用四元数在机器人学中应用四元数在虚拟现实(VR)中应用四元数在图像处理中应用总结与展望

四元数基本概念与性质01

四元数定义及表示方法四元数定义四元数是一种扩展的复数，包含四个部分：一个实部和三个虚部，通常表示为q=a+bi+cj+dk，其中a,b,c,d为实数，i,j,k为虚数单位。表示方法四元数可以用标量和向量的组合来表示，即q=[s,v]，其中s为标量部分，v为向量部分。标量部分等于四元数的实部，向量部分由四元数的三个虚部构成。

03共轭和模四元数的共轭是将虚部取反，模等于四元数与其共轭的乘积的平方根。01加法和减法四元数的加法和减法遵循实数和虚数部分的对应相加和相减。02乘法四元数的乘法不满足交换律，但满足结合律和分配律。乘法运算可以通过分配律和虚数单位的乘法规则来实现。四元数运算规则

四元数可以看作是复数的扩展，其中复数可以表示为四元数的一个特例，即实部和一个虚部。四元数的向量部分可以表示三维空间中的向量，因此四元数可以用来描述三维空间中的旋转和平移等操作。四元数与复数、向量关系与向量关系与复数关系

四元数具有不可交换性四元数的乘法不满足交换律，即pq≠qp。四元数具有结合性四元数的乘法满足结合律，即(pq)r=p(qr)。四元数的模具有非负性对于任意四元数q，其模|q|≥0，当且仅当q为零四元数时取等号。四元数的逆存在性对于非零四元数q，存在逆四元数q^(-1)，使得qq^(-1)=q^(-1)q=1。四元数性质总结

四元数在计算机图形学中应用02

旋转矩阵四元数可用于表示3D旋转，相比欧拉角和旋转矩阵，四元数具有更少的参数和更高的计算效率。四元数乘法通过四元数乘法，可将两个旋转合并为一个，实现旋转的叠加。插值与平滑四元数插值方法如SLERP（SphericalLinearInterpolation）可实现平滑的旋转过渡。3D旋转表示与计算

四元数可用于表示物体的姿态，即物体在空间中的方向和位置。姿态表示姿态插值关键帧动画通过四元数插值，可实现物体姿态的平滑过渡，用于动画和游戏中角色的动作设计。在关键帧动画中，四元数可用于表示每个关键帧的姿态，并通过插值方法实现中间帧的自动生成。030201姿态插值与动画技术

骨骼动画中，骨骼通常由一系列关节和连接它们的骨骼组成，四元数可用于表示每个关节的旋转。骨骼表示骨骼动画数据通常包括每个关键帧的骨骼旋转信息，以及骨骼之间的连接关系。动画数据在播放骨骼动画时，通过读取关键帧数据，并使用四元数插值方法计算中间帧的姿态，从而实现动画的流畅播放。动画播放骨骼动画原理及实现

在物理模拟中，四元数可用于表示刚体的旋转状态，实现精确的碰撞检测和物理交互。刚体旋转基于四元数的碰撞检测算法可快速准确地判断两个物体是否发生碰撞，并计算出碰撞点和碰撞法线。碰撞检测算法四元数可与物理引擎集成，用于处理物体在受到外力作用时的旋转和姿态变化。物理引擎集成碰撞检测与物理模拟

四元数在机器人学中应用03

姿态表示四元数可用于表示机器人的三维姿态，相比欧拉角和旋转矩阵，四元数具有无奇异点、计算效率高等优点。姿态控制通过四元数描述的姿态误差，可设计控制器实现机器人姿态的精确控制，如PD控制、滑模控制等。机器人姿态描述与控制

利用四元数插值方法，如球面线性插值（Slerp），可实现机器人平滑的轨迹规划。轨迹规划结合优化算法，如梯度下降法、遗传算法等，可进一步优化机器人轨迹规划的性能指标，如时间最短、能量最优等。优化算法轨迹规划与优化算法

通过融合多个传感器（如IMU、GPS、视觉等）的数据，利用四元数表示姿态，可提高姿态估计的精度和鲁棒性。传感器融合基于扩展卡尔曼滤波（EKF）、粒子滤波（PF）等方法，结合四元数表示的姿态信息，可实现机器人实时、准确的姿态估计。姿态估计传感器融合与姿态估计

地图构建与定位利用四元数表示机器人的姿态信息，结合SLAM（SimultaneousLocalizationandMapping）技术，可实现机器人自主建图与定位。路径规划与导航基于构建的地图信息，利用路径规划算法（如A*、Dijkstra等）和四元数描述的姿态信息，可实现机器人自主导航与避障。机器人自主导航技术

四元数在虚拟现实(VR)中应用04

利用四元数表示三维空间中的旋转，实现VR场景中物体的精确定位和姿态调整。场景建模通过四元数描述光源方向和强度，实现复杂场景下的实时光影渲染。光照渲染运用四元数对三维模型表面进行纹理映射，提高场景的真实感和细节表现。纹理映射VR场景构建与渲染技术

视角调整根据头部姿态调整VR场景中的视角，提供自然的视觉体验。交