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最简三角方程

6.5最简三角方程（2）

上海市第四中学张云

教学内容分析

在掌握最简三角方程的解集基础上，学会解简单的三角方程．利用同角三角比或三角比的有关公式将同时含有几个三角函数的方程化为只含有一个角的一个三角函数的方程，然后采用基本的转化方法，将原方程化成简单三角方程求解．有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以三角函数为未知数的一元二次方程的，而且要关注此三角函数本身的条件限制．

二、教学目标设计

1．会解简单的三角方程（形如，，等）．

[说明]把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有：（1）化为同角、同名的三角函数；（2）因式分解法；（3）化为、的齐次式；（4）引入辅助角．

２．利用函数的图像解与三角函数有关的方程问题．

三、教学重点及难点

重点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程基本方法与合理选用公式和变换方法；

难点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程的过程中合理选用公式和变换方法，及含有字母三角方程的实数解讨论．

四、教学用具准备

多媒体设备

五、教学流程设计

因式分解法化为、的齐次式引入辅助角

因式分解法

化为、的齐次式

引入辅助角

合理选用变换方法将简单的三角方程化为最简的三角方程

合理选用变换方法将简单的三角方程化为最简的三角方程

应用举例（解简单的三角方程，及含有字母三角方程的实数解讨论）巩固、反馈、总结、反思、作业

应用举例（解简单的三角方程，及含有字母三角方程的实数解讨论）

巩固、反馈、总结、反思、作业

六、教学过程设计

1．概念辨析

已知三角函数值求角（实际上是求解最简三角方程），要熟练掌握最简三角方程的解集，并在理解的基础上熟记下表：

方程

方程的解集

．当时，方程有解．

例3、若方程存在实数解，求的取值范围．

解一由原方程，得，

即

解这个以为未知数的一元二次方程，因为

要使方程有解，只需

解得．

所以的取值范围为．

[说明]有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以为未知数的一元二次方程的，而且必须考虑的值在内．

解二由原方程得，

得

因为，所以．

所以的取值范围为．

[说明]当方程有解时，必须满足，则原题就转化为求的最大值、最小值问题．

3．问题拓展

例4、求方程的解集．

解一由原方程得，

得，．

由，得解集为；

由，得解集为．

所以原方程的解集为．

解二由原方程得，

即

得或，

即或，．

所以原方程的解集为．

解三由原方程得，

即

得或，

即或，．

所以原方程的解集为．

[说明]由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，通过验证这些解集是相等的集合．对于两个相等的同名三角函数所组成的三角方程，可直接利用以下关系得到方程的解．

（1），则或；

（2），则或；

（3），则．

三、巩固练习

1、解下列方程的解集：

（1）；

（2）．

2、关于x的方程有实数解,求实数k的取值范围.

3、求方程的解集．

4、已知函数，

（1）化简，并求；

（2）若，，求．

四、课堂小结

本节课的内容是把简单的三角方程转化为最简三角方程