0-序：数学与文化.pptx

数学文化

薛有才，教授，山西临猗人。主要研究方向为：计算数学、数学教育、科学技术哲学。主要讲授课程为：大学数学、高等代数、解析几何、概率与统计、数值分析、信息与编码、数学文化学、宏观经济学等。教师简介

课程简介数学文化主要包含的内容有：对数学的认识、数学的思想与方法、数学文化史、数学文化的价值、数学史上著名事件的意义分析、著名数学家及其影响；等。 重点在数学的思想与方法及数学的文化价值。

主要参考资料《数学文化学》，郑毓信等著，四川教育出版社。《数学文化》，张楚廷编，高等教育出版社。《数学哲学与数学文化》，黄秦安著，陕西师范大学出版社。《数学的思想、方法和应用》，张顺燕著，北京大学出版社。

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序言——数学与数学文化

章节目录1.数学的基本特征2.什么是数学3.数学是人类文化最重要的部分

数学最基本的特征：（1）抽象性（2）逻辑演绎性（3）应用的广泛性（4）语言性（5）教育的深刻性1.数学的基本特征

（1）数学的抽象性提起数学的抽象性，每个人都有深刻的体会。例如，数字“3”,不是“3个人”、“3个苹果”等具体物件的数量，而是完全脱离了这些具体事物的抽象的“数”。数学中研究的形——三角形、四边形等，也不是三角板、长方形纸片或足球场等具体形状，而是与这些具体事物完全无关的、抽象的“几何图形”。

数学中的等式“3=3”，也是完全抽象的。如果我们说，3公斤干枯的杨树叶等于3公斤黄金，大家一定会发出一片嘘声。但是“3=3”并没有告诉我们左边的3是黄金还是杨树叶。当然，我们更不用说今天的代数数论、抽象代数学、拓扑学等现代数学分支了。为什么数学必须是抽象的？它具体点可以么？事实上，数学的抽象性主要是由于数学研究的对象。数学是模式的科学，它研究事物及其相互间量的关系。它必须抛开事物具体的物理特征，而仅研究事物所具有的量的关系。还是让我们通过例子来说明吧。

例1七桥问题18世纪时,帕瑞格河从哥尼斯堡(现属于俄罗斯)城中流过,河中有两个岛,把该城分为四个部分，河上7座桥，将两岸和岛连接，如图1所示。城里的人从桥上走来走去，有人便提出这样一个疑问：一个人能否依次走过所有的桥，而每座桥只走一次？如果可以的活，这个人能否还回到原来出发地?这就是有名的“七桥问题”。许多人都在试验，每天都有许多人在想法“不重复地走遍”所有这七座桥。但是，没有人能够完成这一“壮举”。这个问题有答案么？图1

图2图3欧拉把问题抽象为：把城市的4个部分不断缩小，最后都缩成一点，而把连接两部分陆地的桥，设想成连接这两点的一条线，于是得到一个“图”，如图2（或图3）所示。于是，原来的问题就变为：这个图能否一笔画成而不重复？如果可以的话，起点是否与终点重合？

几个定义由彼此相连接的顶点和边组成的部分图形(子图)，称为图的一条“链”或“路”。如果一条路首尾相连，则称为回路，或环。一个图,如果每两个顶点都有且只有一条边相连，则称之为“完全图”。如果图G的一条链，包含了G的所有顶点和边，则称之为“欧拉链”；特别地，如果一条回路包含G的所有顶点和边,则称之为“欧拉回路”。于是，七桥问题就变成：图2是否为一个欧拉链？或者，它是否为一个欧拉回路？

几个定义为此，需要关于顶点的几个概念。一个顶点所聚集的边的数目,称为该顶点的“度”。顶点的度是奇数,称为“奇顶点”；顶点的度是偶数,称为“偶顶点”。关于一个图是否为欧拉链或者欧拉回路，有一个简单的判定准则。我们把它写成定理的形式：

定理 定理1(欧拉回路判定准则)一个连通图(图中任何两个顶点都能够用一条链来连接)是欧拉回路的充要条件是它的奇顶点的个数是0或2。 由此可以得到图是否可以一笔画的判定准则: 定理2(一笔画判定准则)如果一个图上的奇顶点的个数是0或2,该图就可以一笔画,否则不能一笔画。特别地,若奇顶点的个数为0,即图上没有奇顶点,则该图不仅可以一笔画,而且起点还能与终点重合。

据此，对于上述七桥问题很容易得出结论：因为图上的4个点都是奇顶点，所以它不是欧拉回路，也不是欧拉链，所以它不能一笔画。从而知道哥尼斯堡七桥问题的答案是否定的。 这就是数学中的抽象过程，陆地再大再广，在所研究的问题中作用并不大，它们与一个点的作用相当。桥也不管长短曲直与宽阔，完全可以用一条曲线代替。抽象的结果，走路问题变成了一笔画问题。

数学抽象方面的特点: 第一，在抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其他一切。第二，数学的抽象是经过一系列阶段而产生的；抽象程度大大超过了自然科学中一般的抽象。数学中许多概念是在抽象概念之上的抽象。例如，群的概念。第三，数学抽象的特殊性在于数