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正余弦定理知识点及题型归纳

266班6组

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解三角形

正弦定理：

===2R，其中R是三角形外接圆半径.

正弦定理的如下变形常在解题中用到

1.(1)a=2RsinA

(2)b=2RsinB

(3)c=2RsinC

2.(1)sinA=a/2R

(2)sinB=b/2R

(3)sinC=c/2R

3.a：b：c=sinA：sinB:sinC

二．余弦定理：

1.a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosA

2.b^2=a^2+c^2-2·a·c·cosB

3.c^2=a^2+b^2-2·a·b·cosC

余弦定理的如下变形常在解题中用到

1.cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2·a·b)

2.cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2·a·c)

3.cosA=(c^2+b^2-a^2)/(2·b·c）

余弦定理和正弦定理的面积公式

S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB

（常用类型：已知三角形两边及其夹角）

（2）余弦定理判断

在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断三角形的形状．

例六判断解得个数

不解三角形，判断下列三角形的解的个数：

（1）a=5,b=4,A=120度

（2）a=7,b=14,A=150度

（3）a=9,b=10,A=60度

（4）c=50,b=72,C=135度

考试类型

一、求解斜三角形中的基本元素

指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．

1、中，，BC＝3，则的周长为（）

A．B．C．D．

2、在ΔABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值．

3、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则

A.a＞bB.a＜bC.a＝bD.a与b的大小关系不能确定

4、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=

（A）（B）（C）（D）

5、在中，a=15,b=10,A=60°，则=

A－BC－D

6、在△ABC中，若b=1，c=，，则a=。

7、 在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.

8、在锐角中，则的值等于，的取值范围为.

9、△中，所对的边分别为，,.

（1）求；（2）若,求.

二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．

1、在中，已知，那么一定是（）

A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形

2、18.若△的三个内角满足，则△

（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.

（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.

三、解决与面积有关问题：主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．

1、在中，若，，，则的面积S＝_________

四、求值问题

1、在中，所对的边长分别为，

设满足条件和，求和的值．

2、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则=_________。

3、在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且

（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）求的最大值.

五、正余弦定理解三角形的实际应用

利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：

图1AB

图1

A

B

C

D

1、如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。

（二.）遇险问题

西北南

西

北

南

东

A

B

C

30°

15°

图2

图3AB

图3

A

B

C

北

45°

15°

3、如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东4