三角函数及解三角形专题四讲义 高三下学期数学二轮专题复习.docxVIP

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人教A版数学--三角函数及解三角形专题四

知识点一用和、差角的正弦公式化简、求值,正弦定理解三角形,三角形面积公式及其应用,求三角形中的边长或周长的最值或范围

典例1、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．

（1）求B；（2）若的面积等于，求的周长的最小值．

随堂练习：在中，角所对的边长分别为，面积为，且.

（1）求角的大小.（2）求的取值范围.

典例2、已知向量，，函数.在中，内角的对边分别为，且.

（1）求C的大小；

（2）若，且的面积，求周长的取值范围.

随堂练习：在锐角三角形中,角的对边分别为,向,

,且.

（1）求角的大小;（2）若的面积为,求的取值范围.

典例3、在中，角A，，所对的边分别为，，，且．

（1）若，，求角

（2）设的角平分线交于点，若面积为，求长的最大值．

随堂练习：如图，在平面四边形中，的面积是的面积的倍．

，，．

（1）求的大小；

（2）若点在直线同侧，，求的取值范围．

知识点二正弦定理边角互化的应用,余弦定理解三角形,余弦定理边角互化的应用

典例4、已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，.

（1）求角C的大小；（2）若，且的面积为，求的周长.

随堂练习：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求角C的大小；（2）若，，求的周长.

典例5、的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c且.

（1）求B；（2）若，的面积为，求a，c.

随堂练习：在中内角，，的对边分别为，，，且．

（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长．

典例6、在中，

（1）求角A的大小

（2）若BC边上的中线，且，求的周长

随堂练习：在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2C=sin2A+cos2B+sinAsinC．

（1）求角B的大小；

（2）若，角B的角平分线交AC于D，且BD＝1，求的周长．

人教A版数学--三角函数及解三角形专题四答案

典例1、答案：（1）（2）

解：（1）因为，所以，

因为，所以，所以，

∵，所以，所以，∴；

（2）依题意，∴ac＝4，

所以，当且仅当时取等号，

又由余弦定理得，

∴，当且仅当a＝c＝2时取等号，所以的周长最小值为．

随堂练习：答案：（1）（2）

解：（1），所以，又，

，则，，

因为，所以，故；

（2）由正弦定理可得：

，

，也即.

典例2、答案：（1）（2）

解：（1）因为，，，

所以

，

又，所以.所以，.

因为，所以.

（2）由（1）知，所以.

因为，所以，所以.

由余弦定理得.

又，所以.

因为的周长，

所以，即周长的取值范围为.

随堂练习：答案：（1）（2）

解:（1）由题知,,,

所以有:①,

在中,由正弦定理可得:,

代入①中有:,

展开移项后可得:,即,

因为是的三边,所以上式可化为:,

在中,由余弦定理可得:,

因为,所以;

（2）在中,过点向作垂线,垂足为,

过点作的垂线,交延长线于点,如图所示:

因为为锐角三角形,所以点在线段上（不含端点）,

即,

由（1）可得,且,所以,所以,

因为,所以,即,

由,所以,

解得:,所以,

令,,由对勾函数的性质可得在上单调递减,

故,

即.

典例3、答案：（1）（2）

解：（1）因为，依据正弦定理，

所以，即，

由余弦定理变形知，

因为，所以．因为，，

则在中，由正弦定理得：又，

因为，所以．

（2）方法一：因为，

是的角平分线，

而，

所以，

即，所以，

因为，，，且，故AD

当且仅当取等，所以最大值为．

答：当时，最大值为．

方法二：因为,

设，，

在，中由正弦定理知：①，

②，

因为，所以①②得，

，

令，，

由于，

所以，易得此函数在为单调递增函数，

所以当时，最大值为．

随堂练习：答案：（1）；（2）.

解：（1）设，则，

因，，，

则，而，，

则有，即，又，，

因此，，所以.

（2）由（1）知，，连AC，有，则，

而，中，由正弦定理有，

，，，

又，令，

则，，

因此，

因，则，有，

即，，

所以的取值范围为．

典例4、答案：（1）；（2）.

解:（1）因为

由正弦定理可得，即.

由余弦定理知又因，所以；

（2），的面积，即，