2024年中考数学几何辅助线专题复习讲义：专题五 遇到某个角及其半角怎么作辅助线.docxVIP

专题五遇到某个角及其半角怎么作辅助线

5.1半角+旋转

知识储备

1.旋转

(1)旋转的定义

在平面内，把一个图形绕某一点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点P经过旋转变为点P，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.

(2)旋转的三要素

①旋转中心；

②旋转方向；

③旋转角度.

注意：三要素中只要改变任意一个，旋转后的图形就会不一样.在旋转过程中，原图上所有的点都绕一个固定的点，朝同一方向，转动同一个角度.

(3)旋转的性质

①对应点到旋转中心的距离相等；

②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

③旋转前、后的图形全等.

2.半角与旋转的应用

超级模型

基本图形

已知条件

①∠2=∠AOB;②OA=OB

辅助线作法

连接FB,将△FOB绕O旋转至△FOA的位置,连接FE,FE

可用结论

△OEF≌△OEF

理论依据

因为将△FOB绕O旋转至△FOA的位置,所以△OBF≌△OAF,所以OF=OF,∠3=∠4.因为∠2=∠AOB,所以∠2=∠1+∠3=∠1+∠4,又OE=OE,所以△OEF≌△OEF

方法归纳

半角模型经常在正方形中出现，由于正方形的每个内角都是90°，四边相等，故当出现45°角时可以考虑运用旋转的方式构造全等三角形

例题详析

例:如图,已知正方形ABCD,动点M,N分别在DC,BC上,且满足∠MAN=45°,若△CMN的周长为2,则△CMN面积的最大值是多少?

思|维|路|径

【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°,AB=AD=CD=CB.如图,将△ABN绕点A沿逆时针方向旋转90°得到△ADE,则AE=AN,DE=BN,∠DAE=∠BAN,

2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,,点D,E在BC上,且∠DAE=45°.

(1)试证△BAEO△ADEO△CDA;

(2)试证BD2+CE2=DE2.

3.如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°.

(1)填空:与△ABM相似的三角形是,BM?DN=_(用含a的代数式表示)；

(2)连接MC,NC,MN,求∠MCN的度数;

(3)猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论.

中|考|实|战

4.如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动(不与点A,B重合),∠DAM=45°,点F在射线AM上,且AF=2BE,CF与AD相交于点G,连接EC,EF,EG.则下列结论

①∠ECF=45°;②△AEG的周长为1+

③BE2+DG2=EG2;④△EAF的面积的最大值是18a2.其中正确的结论是

5.2大角折半

知识储备

角平分线的作法

第一步，以顶点O为圆心，以任意长为半径画弧，交∠AOB的两边于点M,N;

第二步，分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长度为半径画弧，两弧交于∠AOB内一点P

第三步，作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线.

超级模型

基本图形

已知条件

在△ABC中,∠ABC=2∠C

辅助线作法

过B作BD平分∠ABC,交AC于点D

可用结论

△ABD∽△ACB,BD=CD

理论依据

因为∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠DBC=∠C,所以BD=CD.又∠A=∠A,所以△ABD∽△ACB

例题详析

例:如图,在△ABC中,∠C=2∠A,AC=2BC.求证:△ABC是直角三角形.

思|维|路|径

【解析】如图,作∠ACB的平分线CD,交AB于点D,过点D作AC边上的高DE,交AC于点E.

因为∠ACB=2∠A,所以∠BCD=∠ECD=∠A,所以AD=DC,所以DE垂直平分AC.

又因为AC=2BC,所以CE=BC.

又因为CD=CD,所以△CDE≌△CDB(SAS),所以∠B=∠DEC=90°,即△ABC是直角三角形.

跟踪训练

对|点|巩|固

1.求证：等腰锐角三角形腰上的高与底边所夹的角等于顶角的一半.

2.如图,E是正方形ABCD的边CD的中点,F是EC的中点,求证:∠DAE=1

5.3倍角作外角

知识储备

1.三角形外角的定义

三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

2.三角形外角的特征

(1)外角的顶点是三角形的一个顶点，外角的一边是三角形的一边，外角的另一边是三角形的一边的延长线；

(2)三角形的一个外角等于与