2024年中考数学几何辅助线专题复习讲义：专题三 遇到求证线段间的不等 (相等)关系怎么作辅助线.docxVIP

专题三遇到求证线段间的不等(相等)关系怎么作辅助线

3.1飞镖模型

知识储备

1.三角形的三边关系

内容：三角形的两边之和大于第三边；两边之差小于第三边.

判别方法：用两较短边的和与最长边进行比较或者用最长边与最短边的差和第三边比较.

注意：当给出等腰三角形两个不相等的边长的值时，要讨论哪条边来当腰，哪条边来当底，并且要保证两边之和大于第三边且两边之差小于第三边.

2.不等式的传递性

若ab,bc,则ac.

超级模型

基本图形

已知条件

图形类似飞镖，简称“飞镖模型”

辅助线作法

延长BD交AC于点E，构造三角形

可用结论

AB+ACBD+DC

理论依据

因为AB+AC=AB+AE+EC,AB+AEBE,所以AB+ACBE+EC,因为BE+EC=BD+DE+EC,DE+ECDC,所以BE+ECBD+DC,所以AB+ACBD+DC

方法归纳

“飞镖模型”和“8字模型”的应用除在证明线段的不等关系中出现，也可能在证明角的相关关系中应用到，此时我们利用三角形的内角和及外角性质进行转化即可

例题详析

例:如图,O是△ABC内的一点,连接OB,OC,求证:AAB+ACOB+OC

【解析】如图,延长BO交AC于点D.

∵AB+ADOB+OD,OD+CDOC,

∴AB+AD+CDOB+OC,即AB+ACOB+OC.

跟踪训练

对|点|巩|固

1.如图,点O为△ABC内部一点.

求证:(1)2(AO+BO+CO)AB+BC+AC;

(2)AB+BC+ACAO+BO+CO.

2.如图,P,Q为.∠A内两点，证明：AB+ACPB+PQ+QC.

3.观察并探求下列各问题，写出你得到的结论，并说明理由.

(1)如图1,△ABC中，P为边BC上一点，试观察比较.BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由.

(2)将(1)中点P移至△ABC内，得图2，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由.

(3)将(2)中点P变为两个点.P?,P?,，得图3，试观察比较四边形BP?P?C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由.

(4)将(3)中的点.P?,P?移至△ABC外，并使点P?,P?与点A在边BC的异侧，且∠P?BC∠ABC,∠P?CB∠ACB,，得图4，试观察比较四边形.BP?P?C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由.

3.2线段的“截长补短”法

知识储备

1.截长补短法

截长法：在长线段上截取和短线段相等的线段，利用全等证明线段间的关系.

补短法：将短线段延长补成和长线段相等的线段，利用全等证明线段间的关系.

2.应用情景

(1)当已知(或求证)中含有一条线段大于另一条线段时.

(2)当已知(或求证)中出现有关几条线段的和差的等量关系时.

基本图形

已知条件

在△ABC中,ABAC,AM平分∠BAC

辅助线作法

(1)在AB上截取AD=AC;

(2)把AC延长到点E,使AB=AE

可用结论

两种辅助线的作法都是得到三角形全等，然后利用全等得到线段的关系或角的关系

理论依据

(1)因为AM平分∠BAC,且AD=AC,

所以△AMD≌△AMC(SAS);

(2)因为AM平分∠BAC,且AE=AB,所以△AMB≌△AME(SAS)

例题详析

例：已知等边三角形ABC内接于⊙O，P为⊙O上异于A，B，C的动点.当点P为弦BC所对的劣弧上一点时(如图),连接PA,PB,PC,求证:PB+PC=PA.

思|维|路|径

【解析】如图,在PA上截取PD=PC,连接CD.

∵△ABC为等边三角形,

∴AB=AC=BC,∠ACB=60°,

∴∠APB=∠APC=60°,

∴△PCD为等边三角形,

∴∠PCD=60°,CP=CD=PD,

∴∠PCD-∠DCB=∠ACB-∠DCB,即∠ACD=∠BCP.

在△ACD和△BCP中AC=BC,

∴△ACD≌△BCP(SAS),∴AD=PB.

又∵PA=AD+DP,DP=PC,

∴PA=PB+PC.

跟踪训练

对|点|巩|固

1.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线，如图，若∠C=2∠B,AB=12,AC=7.2,，求线段CD的长度.

2.如图，P为等边△ABC外一点,AH垂直平分PC于点H,∠BAP的平分线交PC于点D.

(1)求证:DP=DB.

(2)求证:DA+DB=DC.

3.在等边△ABC中,E为BC边上一点,G为BC延长线上一点,过点E作∠AEM=60°,交∠ACG的平分线于点M.

(1)如图1,当点E在BC边的中点位置时,求证:AE=EM;

(2)如图2，当点E在BC边的任意位置时，(1)中的结