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22.222.3平行四边形与特殊的平行四边形
1.理解掌握平行四边形的定义、性质、判定定理以及平行线间的距离.
2、能够综合运用平行四边形的相关定理完成证明或计算.
3.理解矩形、菱形、正方形的定义、性质、判定定理.
4、能运用矩形、菱形、正方形的相关定理完成证明或计算.
一、平行四边形的定义
平行四边形的定义:
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形用“”表示,平行四边形记作“ABCD”.
【注意】:
①平行四边形的表示要按照一定的方向依次表示各个顶点.可以按照顺时针方向排列字母顺序,也可按
照逆时针方向排列字母顺序,但是不能打乱顺序.
②ABCD的对边有:__________________;
③ABCD的对角有:___________________;
④ABCD的对角线有:__________________;
⑤平行四边形属于四边形,它具有四边形的性质,平行四边形的内角和是__________,外角和是
__________.
二、平行四边形的性质
(1)性质1:平行四边形的对边平行、对边相等.
几何语言:
∵ABCD
四边形是平行四边形
∴AB=CD,AD=BC
(2)性质2:平行四边形的对角相等.
几何语言:
∵ABCD
四边形是平行四边形
∴∠A=∠C,∠B=∠D
(3)性质3:平行四边形的对角线互相平分.
∵ABCD
四边形是平行四边形
∴AO=C0,BO=D0
(4)两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫这两条平行线间的距离.
【结论1】:两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
【结论2】:两条平行线间的距离处处相等
总结:
①平行四边形性质涉及边、角、对角线三个方面;
其应用包括:直接运用平行四边形的性质求角的度数或线段的长度,证明角或线段的相等或倍分等,
解题时常常将四边形的问题转化成三角形的问题进行解决.
②平行四边形常和角平分线结合,可以得到等腰三角形.
③平行线间的距离处处相等,提供给我们“同底等高”的等积变换思想.
三、平行四边形的判定
(1)判定1:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.(定义)
几何语言:
∵AB∥CD、AD∥BC
∴ABCD
四边形是平行四边形
(2)判定2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言:
∵在四边形ABCD中AB=CD、AD=BC
∴ABCD
四边形是平行四边形
(3)判定3:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言:
∵在四边形ABCD中∠A=∠C,∠B=∠D
∴ABCD
四边形是平行四边形
(4)判定4:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
几何语言:
∵在四边形ABCD中,OA=OC,OB=OD
∴ABCD
四边形是平行四边形
(5)判定5:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
几何语言:
∵在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=BC
∴ABCD
四边形是平行四边形
四、矩形定义与性质
1.定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,记作:矩形ABCD
.
矩形与平行四边形的关系:矩形是特殊的平行四边形
2.矩形的性质:
①矩形作为特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质:
对边平行且相等;对角相等,邻角互补;对角线互相平分
②性质1:矩形的四个角都是直角
几何语言:
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠∠90∘
C=D=
③性质2:矩形对角线相等
几何语言:
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD
五、矩形的判定
判定1:有一个角是直角的平行四边形是矩形.(定义)
几何语言:
°
∵四边形ABCD是平行四边形,∠B=90
∴四边
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