正弦定理、余弦定理的应用.doc

正弦定理、余弦定理的应用

PAGE1/NUMPAGES7

北师大版高中数学必修五

正弦定理、余弦定理的应用

辽宁省北票市保国学校丛日艳

教学目的：1进一步熟悉正、余弦定理内容；

2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；

3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；

4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式

教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向

教学难点:三角函数公式变形与正、余弦定理的联系

教学方法：启发引导式

1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；

2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用

教学过程：一、复习引入：

正弦定理：

余弦定理：

，

二、讲解范例：例1在任一△ABC中求证：

证：左边=

==0=右边

例2在△ABC中，已知，，B=45?求A、C及c

解一：由正弦定理得：

∵B=45?90?即ba∴A=60?或120?

当A=60?时C=75?

当A=120?时C=15?

解二：设c=x由余弦定理

将已知条件代入，整理：

解之：当时

从而A=60?，C=75?当时同理可求得：A=120?，C=15?

例3在△ABC中，BC=a,AC=b,a,b是方程的两个根，且

2cos(A+B)=1求（1）角C的度数（2）AB的长度（3）△ABC的面积

解：（1）cosC=cos[??(A+B)]=?cos(A+B)=?∴C=120?

（2）由题设：

∴AB2=AC2+BC2?2AC?BC?osC

即AB=

质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力

五、课后作业：

课后记：1正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得：sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA

这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，举例:

［例1］在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sinAsinC，求B的度数

解：由定理得sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB

∴－2sinAsinCcosB＝sinAsinC

∵sinAsinC≠0∴cosΒ＝－∴B＝150°

［例2］求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值

解：原式＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°

在sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA，令B＝10°，C＝50°，则A

sin2120°＝sin210°＋sin250°－2sin10°sin50°cos120°

＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°＝（）2＝

［例3］在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，试判定△ABC的形状

解：在原等式两边同乘以sinA得：2cosBsinAsinC＝sin2A，由定理得sin2A＋sin2C－sin2Β＝sin2A，∴sin2C＝sin2B∴B＝C故

2一题多证:［例4］在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形

证法一：欲证△ABC为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数由正弦定理得a＝

∴2bcosC＝，即2cosC·sinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC

∴sinBcosC－cosBsinC＝0即sin（B－C）＝0，∴B－C＝ｎπ（ｎ∈Ｚ）

∵B、C是三角形的内角，∴B＝C，即三角形为等腰三角形

证法二：根据射影定理，有a＝bcosC＋ccosB，

又∵a＝2bcosC∴2bcosC＝bcosC＋ccosB∴bcosC＝ccosB，即

又∵∴即tanB＝tanC

∵B、C在△ABC中，∴B＝C∴△ABC为等腰三角形

证法三：∵cosC＝∴

化简后得b2＝c2∴b＝c∴△ABC是等腰三角形