数学文化 课件 9-非欧几何与数学真理性.pptx

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第9章非欧几何与数学真理性

章节目录9.1第五公设及其研究9.2非欧几何的诞生9.3非欧几何的相容性9.4非欧几何的文化意义*9.5数学真理性的解读

（1）连接任何两点可以作一直线段。（2）一直线段可以沿两个方向无限延长而成为直线。（3）以任意一点为中心，通过任意给定的另一点可以作一圆。（4）凡直角都相等。（5）如果同一平面内任一条直线与另两条直线相交，同一侧的两内角之和小于两直角，则这两直线经适当延长后在这一侧相交。（其等价命题是：在一个平面中，过已知直线外一点做直线的平行线能做一条且仅能做一条。）欧氏几何的5条公设9.1第五公设及其研究

由于第五公设与《原本》中的其它公设、公理应有的明显性、直观性和不证自明的真理程度相比，似乎有些差别，特别是在其叙述中还隐含有直线可以无限延长的涵义，由于它涉及到整个无限平面的非经验特征，而古希腊人对无限基本上采取了一种完全排斥的态度，因此就引起了人们的关注和不安。 即使对于欧几里得本人，好像对第五公设也有些底气不足。因为在《几何原本》中，凡可以不用第五公设证明的问题，欧氏都尽量避免使用它。

从公元前300年到公元1800年的两千多年时间里，几乎所有有作为的数学家、神学家都在第五公设上投入大量的精力：哲学家、神学家希望进一步完善欧氏几何的理想化地位，数学家则希望使几何的逻辑演绎体系更加完美。总的说来，对第五公设的研究可以归为两类，一是试图找到更为自明的公设或命题来代替第五公设，一是试图用其他公理、公设等证明它，从而使它成为一个定理。

总之，在长达两千多年的时间中，尽管不同的数学家使用了不同的方法，却都没有获得成功。但是通过这些失败的努力，人们获得了一些极有价值的与第五公设等价的命题。如：（1）每一个三角形的内角和都相等。（2）通过一角内的任一点可以做与此角两边相交的直线。（3）四边形的四内角之和等于四个直角。（4）纯直于锐角的一条边的直线，必与此锐角的另一条边相交。

（5）存在一对同平面直线彼此处处等距离。（6）过平面内已知直线外的一个已知点只能做一条直线平行于已知直线。（7）过任何三个不在同一直线上的点可作一圆。 ……两千多年的失败历史无疑会促使一些数学家开始反面的努力，即是希望能从相反的规定引出矛盾而用归谬法证明第五公设。

历史上，首先试图利用归谬法证明第五公设的当首推数学家萨开里（Saccheri，1667~1733）。他经过复杂和艰苦的论证，发表了《排除任何谬误的欧几里得》一书。在这一著作中，他承认《几何原本》的前28个命题，即认为这些命题不需要第五公设。借助这些定理，他研究等腰双直角四边形，即四边形ABCD（如图），其中AD=BC，且和均为直角，作对角线AC和BD，再利用全等定理，他证明了。ABDC

但他无法确定这两个角的大小。当然作为第五公设的推论，可推出这两个角均为直角，但是他不想采用此公设的假定。因而这两角可能均为直角、或均为钝角、或均为锐角。萨开里在这里坚持了开放的思想，并且把这三种可能性命名为直角假定、钝角假定、锐角假定。他的计划是，以证明了后两个导致矛盾来排除这两种可能，然后根据归谬法就只剩下第一个假定了。但是这个假定等价于欧几里得的第五公设。这么一来，平行公设就被证明了，欧几里得假定的缺陷就被排除了。

萨开里以其娴熟的几何技巧和卓越的逻辑洞察力证明了许多定理。现将其中较重要者列举如下： 1.直角假定:三角形内角和等于两直角。(1)给定一条直线和线外一点，过该点有一条直线与该直线不相交。(2)立于固定直线上的定长垂线的定点轨迹是一条直线。2.钝角假定:三角形内角和大于两直角。(1)没有平行线。(2)立于固定直线上的定长垂线的定点轨迹是凸曲线。

3.锐角假定:三角形内角和小于两直角(1)给定一条直线和线外一点，过该点有无穷多条直线与该直线不相交。(2)立于固定直线上的定长垂线的定点轨迹是凹曲线。萨开里认为他已经在第五公设不成立的情况下找到了矛盾，从而就证明了第五公设。但是由于其证明中把有限图形的性质在没有理论证明的情况下任意地推广到了无限图形，从而犯了混淆范畴的错误。

1766年，瑞士的J.H.兰伯特（Lambert,1728~1777）写了一本标题为《平行线理论》的著作，作了类似的研究。和萨开里一样，兰伯特按照三直角四边形的第四个角是直角、钝角