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湖北省宜昌市夷陵中学等校2023-2024学年高二下学期5月联合测评数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设全集，集合，，则（????）

A． B．

C． D．

2．已知为虚数单位，复数，为的共轭复数，则（????）

A． B．5 C． D．4

3．在各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，若，则（????）

A．14 B．28 C．42 D．56

4．从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中也任取2个数字，能组成无重复数字的四位数的个数为（????）

A．240 B．216 C．180 D．108

5．已知，分别为双曲线：的上、下两个焦点，点恰为抛物线：的焦点，记点为两曲线的一个公共点，且，则双曲线的离心率为（????）

A． B． C． D．

6．湖北武汉的黄鹤楼是中国古代四大名楼之一，因唐代诗人崔颢的《黄鹤楼》而名扬天下，小张同学打算利用镜面反射法测量黄鹤楼的高度.如图所示，小张将平面镜置于黄鹤楼前的水平地面上，他后退至从镜中正好能看到楼顶的位置，测量出人与镜子的距离.沿直线将镜子向后移距离，再次从镜中观测楼顶，并测量出此时人与镜子的距离.若小张的眼睛距离地面的高度为，则黄鹤楼的高度可表示为（????）

A． B．

C． D．

7．已知球与某圆台的上、下底面及侧面均相切，若球与圆台的表面积之比为，则球与圆台的体积之比为（????）

A． B． C． D．

8．正数，满足“”的充要条件是（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．某不透明的盒子里装有若干个形状、大小、材质完全相同的红色和黑色的小球，现从盒子里随机抽取小球，每次抽取一个，用随机变量表示事件“抽到的小球为红色”发生的次数，下列说法正确的有（????）

A．若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里不放回地抽取小球，则第一次抽到红色小球且第二次抽到黑色小球的概率为

B．若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里有放回地抽取6次小球，则且

C．若盒子里有个小球，其中红色小球有个，从盒子里不放回地随机抽取6个小球，且有红色球的数学期望为2，则盒子里黑色小球的个数是红色小球个数的2倍

D．若，，，，则

10．如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（????）

A．存在点，使得

B．平面时，截正方体的截面积为

C．三棱锥的外接球的表面积为

D．点到平面的距离最大值为

11．已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，则下列选项正确的是（????）

A．函数的图象关于对称 B．

C． D．

三、填空题

12．的展开式中的常数项为.（请用数字作答）

13．已知直线：，点，，点在直线上的射影为，则线段长度的取值范围为.

14．已知函数，其中表示，中的最大值，若函数有3个零点，则实数的取值范围是.

四、解答题

15．数列的前项和，数列满足，.

(1)求，；

(2)记，求数列的前项和.

16．如图，在三棱锥中，，，，，.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的余弦值.

17．每年6月中旬到7月中旬，长江中下游区域内会出现一段连续阴雨天气，俗称“梅雨期”.依据某地河流“梅雨期”的水文观测点的历史统计数据，所绘制的频率分布直方图如图甲所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图乙所示.

(1)以频率作为概率，试求河流在“梅雨期”水位的第80百分位数并估计该地在今年“梅雨期”发生1级灾害的概率；

(2)该地河流域某企业，在今年“梅雨期”，若没受1，2级灾害影响，利润为1000万元；若受1级灾害影响，则亏损200万元；若受2级灾害影响则亏损2000万元.

现此企业有如下三种应对方案：

方案

防控等级

费用（单位：万元）

方案一

无措施

0

方案二

防控1级灾害

80

方案三

防控2级灾害

200

试问，若仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？并说明理由.

18．如图，已知椭圆的左、右顶点分别为，，其离心率为，椭圆上的点到焦点的最短距离为1.过平面上一点作椭圆的切线，，当直线与的斜率都存在时，它们的斜率之积是，当其中一条切线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为0，记点的轨迹为曲线.直线，分别交椭圆于点，.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求曲线的方程；

(3)求面积的最大值.

19．如图，对于曲线，若存在圆满足如下条件：

①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；

②圆与曲线在点处有相同的切线；

③曲线的导函数在处