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江苏省镇江市、南京市联盟校2023-2024学年高一下学期5月学情调查数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．向量与的夹角为（????）

A． B． C． D．

2．如图所示直角梯形上下两底分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（）

A．2 B．3

C．4 D．6

3．已知，则（????）

A． B． C． D．

4．已知m，n表示两条不同的直线，表示平面．下列说法正确的是（????）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

5．如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，则下列说法正确的个数为（????）

①，，，四点共面；

②平面；

③与的交点一定在直线上.

A．0 B．1 C．2 D．3

6．在平行四边形中，已知，，，点在边上，满足，则（????）

A． B．0 C． D．1

7．若，，则（????）

A． B． C．5 D．

8．以P为顶点，圆O为底面的圆锥中，轴截面为等边三角形，M为底面圆O上一点，，则异面直线与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知向量，，则下列说法中正确的是（????）

A．若，则

B．若，则

C．若，则与的夹角为钝角

D．当时，则在上的投影向量的坐标为

10．设为复数，则下列结论中正确的是（????）

A．若为虚数，则也为虚数

B．若，则的最大值为

C．

D．

11．如图，正方体中，E，F分别为棱，的中点，P为线段上的动点，则（????）

A．对任意的点，总有

B．对任意的点，总有与是异面直线

C．过点E，F，D的平面截该立方体的截面形状是四边形

D．异面直线与所成角的正切值的最小值为

三、填空题

12．已知复数满足，其中是虚数单位，则．

13．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，E为AD的中点，F在PA上，AP=λAF，若PC//平面BEF，则λ的值为.

14．镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则云台阁的高度为米.

??

四、解答题

15．已知复数在复平面上对应点在第四象限，且，的虚部为.

(1)求复数；

(2)设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值.

16．已知锐角满足，.

(1)求的值；

(2)求的大小.

17．如图，某海域的东西方向上分别有A，B两个观测塔，它们相距海里，现A观测塔发现有一艘轮船在D点发出求救信号，经观测得知D点位于A点北偏东45，同时B观测塔也发现了求救信号，经观测D点位于B点北偏西75，这时位于B点南偏西45且与B相距30海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时.

??

(1)求B点到D点的距离；

(2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，救援船能否在1小时内到达救援地点？请说明理由.（参考数据：，，）

18．如图，在四棱锥中，侧棱底面，四边形为正方形，且，点为棱的中点，点为棱上一点.

(1)若点为中点，求证：平面；

(2)若点满足，

（i）求证：；

（ii）求直线与平面所成角的正切值.

19．对于数集，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称X是“对称的”.

(1)判断以下三个数集、、是否是“对称的”（不需要说明理由）；

(2)若，且是“对称的”，求的值；

(3)若“对称的”数集，满足：，，.求证：.

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参考答案：

1．A

【分析】根据向量的坐标运算求解.

【详解】因为，

则，且，

所以.

故选：A.

2．B

【分析】根据题意，由梯形面积公式求出原图的面积，结合原图与直观图面积的关系，分析即可得出结果.

【详解】根据题意，原图直角梯形中，上下两底分别为2和4，高为，

其面积，

则其直观图的面积.

故选：B.

3．D

【分析】利用降幂公式和诱导公式化简可得答案.

【详解】，解得：，

故选：D

4．B

【分析】根据空间直线与平面间的位置关系判断．

【详解】对于A，若，，则m与n相交、平行或异面，故A错误；

对于B，若，，由线面垂直的性质定理得，故B正确；

对于C，若，，则或，故C错误；

对于D，若，，则n与相交、平行或，故D错误．