2024年中考数学几何辅助线专题复习讲义：专题一 遇到中点怎么作辅助线.docxVIP

专题一遇到中点怎么作辅助线

1.1中点在等腰三角形的底边上

知识储备

1.等腰三角形的性质

(1)定义：两边相等.

(2)等边对等角：两底角相等.

(3)三线合一：顶角的平分线与底边上的中线、底边上的高相互重合.

(4)对称性：轴对称图形(顶角的平分线所在的直线是它的一条对称轴).

2.等边三角形

(1)三条边相等.

(2)三个内角都为(60°.

3.几类三角形间的关系

基本图形

已知条件

已知等腰三角形(三角形的两边相等)及其底边中点(第三边的中点)

含量辅助线作法

连接中点和顶角的顶点

可用结论

如图,AM⊥BC,AM平分∠BAC,BM=CM

理论依据

等腰三角形中“三线合一”

例题详析

例：如图，在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,=5,BC=6,M为BC的中点,MN⊥AC于点N,求MN的长度.

【解析】如图,连接AM.

∵AB=AC,M为BC的中点,∴AM⊥BC(三线合一).

∵BC=6,M为BC的中点,∴BM=CM=3.

∵在Rt△ABM中,AB=5,BM=3,

∴根据勾股定理得AM=

∵

跟踪训练

对|点|巩|固

1.如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC,,P为BC的中点,PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E，求证：PD=PE.

2.如图,在△ABC中,AB=AC,,D是BC的中点,过A点的直线EF‖BC,且AE=AF,连接DE,DF.求证:DE=DF.

中|考|实|战

3.如图,在△ABO中,OA=OB,，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C.

(1)求证:AB与⊙O相切.

(2)若∠AOB=120°,AB=43,求

1.2中点在直角三角形的斜边上

知识储备

1.直角三角形的性质

(1)定义：有一个角是直角.

(2)角的关系：两锐角互余.

(3)勾股定理：设直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2+b2=c2.

(4)边角关系:设∠A为Rt△ABC中一锐角,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∠C为直角,则sin

(5)特殊直角三角形的性质：直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半.

(6)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

2.直角三角形的分类

超级模型

基本图形

已知条件

已知直角三角形(某个角为直角的三角形)及其斜边中点

辅助线作法

连接斜边中点和直角的顶点

可用结论

如图，AD=BD=CD=AB

理论依据

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中线的定义

例题详析

例：如图，在Rt△ABC中,∠CAB=90°,∠ACB=30°,D是AB上一点(不与A,B重合),DE⊥BC于点E，若P是CD的中点，请判断PE与AE的数量关系，并说明理由.

思|维|路|径

【解析】PE=AE.理由如下:

如图,连接AP.

∵在Rt△CAD中,∠CAD=90°,P是斜边CD的中点，

∴PA=PC=1

∴∠ACD=∠PAC,

∴∠APD=∠ACD+∠PAC=2∠ACD.

同理,在Rt△CED中,PE=PC=

软箱数量∠DPE=2∠DCB,

和高效期:PA=PE,∠APE=∠APD+∠DPE=2∠ACD+2∠DCB=2∠ACB=60°,

∴△PAE是等边三角形,

∴PE=AE.

跟踪训练

对|点|巩|固

1.如图,在△ABC中,BD⊥AC于D点,(CE⊥AB于E点,F,G分别为BC,DE的中点.若BC=18,ED=10,则FG的长为()

A.214B.

2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,,点D,E分别是AB,BC的中点,延长AC到点F，使得CF=12AC,连接EF.若EF=4,,则

A.8B.42C.4

3.如图,∠ABC=∠ADC=90°,M,N分别是AC,BD的中点.求证:MN⊥BD.

中|考|实|战

4.如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A,B分别在边OM,ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中，点D到点O的最大距离为()

A.2+1B.5C.

1.3单个中点求线段相等

1.三角形的中线

三角形顶点与对边中点的连线是三角形的中线.

2.全等三角形的性质