正弦定理.教学课例.docVIP

正弦定理.教学课例

《正弦定理》教学案例

甘肃定西市通渭县马营中学常文杰

一、教学内容分析

“正弦定理”是《普通高中课程标准数学教科书·数学(必修5)》(人教B版)第一章第一节的主要内容，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是三角函数一般知识和平面向量等知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值.为什么要研究正弦定理？正弦定理是怎样发现的？其证明方法是怎样想到的？还有别的证法吗？这些都是教材没有回答，而确实又是学生所关心的问题.

本节课是“正弦定理”教学的第一课时，其主要任务是引入并证明正弦定理，在课型上属于“定理教学课”.因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且通过对定理的探究，能使学生体验到数学发现和创造的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力.

二、学生学习情况分析

学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修4中，又学习了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架，这不仅是学习正弦定理的认知基础，同时又是突破定理证明障碍的强有力的工具.正弦定理是关于任意三角形边角关系的重要定理之一，《课程标准》强调在教学中要重视定理的探究过程，并能运用它解决一些实际问题，可以使学生进一步了解数学在实际中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣，也为学习正弦定理提供一种亲和力与认同感.

三、设计思想

培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务.如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的.”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下)协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的积极建构起帮助和促进作用.本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计.

四、教学目标

1.知识与技能：通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.

2.过程与方法：让学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、归纳、猜想、证明，由特殊到一般得到正弦定理的方法，体验数学发现和创造的历程.

3.情感、态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，创设共同探究、教学相长的教学情境.

五、教学重点与难点

重点：正弦定理的发现和推导.

难点：正弦定理的推导.

六、教学准备

教师制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器.

七、教学过程设计

(一)设置情境

教师：展示情景图如图1，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为600m，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA距离，如果船上有测角仪我们能否计算出A、B的距离？

学生：思考提出测量角A，C.

教师：若已知测得∠BAC=75°，∠ACB=45°，如何计算A、B两地距离？

师生共同回忆解直角三角形：在直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角.在直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及第三个角.

教师引导：若△ABC是斜三角形，能否利用解直角三角形，精确计算AB呢？

学生：(思考交流)得出过A作AD⊥BC于D(如图2)，把△ABC分为两个直角三角形.解题过程，学生阐述，教师板书.

解：过A作AD⊥BC于D.

同理，在△ABC中，.

∴.

在钝角三角形中，如图6,设∠C为钝角，BC=a，CA=b，AB=c.

作AD⊥BC交BC的延长线于D.

在Rt△ADB中，sinB=,

∴AD=AB·sinB=c·sinB.

在Rt△ADC中，sinACD=,

∴AD=AC·sinACD=b·sin∠ACB.

∴c·sinB=b·sinACB.

∴.

同锐角三角形证明可知.

∴.

教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

.

教师：还有其它证明方法吗？

学生：思考得出，分析图形(图7)，对于任意△ABC，由初中所学过的面积公式可以得出：，

而由图中可以看出：sin∠BAC=sin∠ACB=,sin∠ABC=,

∴BD=AB·sin∠BAC,AE=AC·sin∠ACB,CF=BC·sin∠ABC.

∴

=AC·AB·si