回归教材重难点07圆中的角度与长度计算(原卷版+解析).docxVIP

回归教材重难点07圆中的角度与长度计算

本考点是中考五星高频考点，难度较大，在全国各地市的中考试卷中均有考查。

（2023年青海省中考数学试卷第17题）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为m．

分析：连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，根据垂径定理的推论得到CD⊥AB，在Rt△AOC中利用勾股定理得到22+（6﹣r）2＝r2，然后解方程即可．

【解答】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，

∵C是⊙O中弦AB的中点，CD过圆心，

∴CD⊥AB，AC＝BC＝AB＝2m，

在Rt△AOC中，∵OA＝rm，OC＝（6﹣r）m，

∴22+（6﹣r）2＝r2，

解得r＝，

即⊙O的半径长为m．

故答案为：．

点评：本题考查了垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧

圆中的计算主要考察的九年级《圆的基本性质》里面的内容，其中，有关角度计算用到的知识点有：圆心角定理、圆周角定理以及相关推论；有关长度的计算用到的考点主要有垂径定理及其推论。在不同问题中还需要熟练掌握圆的基本性质中的考点，做到融会贯通。

本考点是中考五星高频考点，难度中等或中等偏上，个别难度较大，在全国各地市的中考试卷中均有考查。

技法01：圆中的角度计算

①圆中角度计算口诀——圆中求角度，同弧或等弧＋直径所对圆周角是90度

圆心角定理、圆周角定理以及其推论为圆中角的计算提供了等量关系，圆中的等角也是解决角度问题中常见的转化关系，所以特别要注意同弧或等弧所对的圆周角相等，以及直径所对圆周角=90°的固定关系

②圆中模型“知1得4”

由图可得以下5点：

①AB=CD；②；③OM=ON；④；⑤；

以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。

③圆中求角度常用的其他规律：

圆内接四边形的一个外角=其内对角

折叠弧过圆心→必有30°角

以等腰三角形的腰长为直径的圆→必过底边中点

圆中出现互相垂直的弦，常作两弦心距→必有矩形（当弦相等，则得正方形）

技法02：圆中的长度计算

（1）圆中线段计算口诀——“圆中求长度，垂径加勾股”

弦长、半径、直径是圆中的主要线段，相关计算主要利用垂径定理及其推论，构造“以半径、弦心距、弦长一半为三边的直角三角形”，通过勾股定理列方程求解；

（2）圆中模型“知2得3”

由图可得以下5点：

①AB⊥CD；②AE=EB；③AD过圆心O；④；⑤；

以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。

（3）常做辅助线：连半径、作弦心距、见直接连弦长得直径所对圆周角=90°

（4）弧长与扇形面积：不规则图形面积想割补法

常用公式：

【中考真题练】

1．（2023?无锡）底面半径为10cm，高为10cm的圆锥的侧面展开图的面积为（）

A．200πcm2 B．100πcm2 C．200πcm2 D．100πcm2

2．（2023?淮安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（）

A．80° B．100° C．140° D．160°

3．（2023?巴中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，，∠CDB＝30°，AC＝2，则OE＝（）

A． B． C．1 D．2

4．（2023?资阳）如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接AC．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是（）

A． B． C． D．

5．（2023?丹东）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则的长为（）

A．6π B．2π C．π D．π

6．（2023?鄂尔多斯）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（）

A．4π米 B．6π米 C．8π米 D．12π米

7．（2023?西藏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC＝OD，则∠ABD的度数为（）

A．90° B．95° C．100° D．105°

8．（2023?河池）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（）

A．25° B．35° C．40° D．50°

9．（2023?营口）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，则BC的长为（）

A．4 B．8 C．4 D．4

10．（2023?青岛）如图，正六边形ABCDEF内接于