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⼏何学是在不准确的图形上进⾏正确推理的艺术。——波利亚
3常见的全等构型
一、典型例题
1、证明：任意三角形是等腰三角形。
证明：如图，做∠A的平分线和BC的中垂线，
设交于P，作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F。
因为AP为角分线，
故PEPF（）
又PD为中垂线，
则PBPC（）
则Rt△PBE≌Rt△PCF()，
故BECF，（）
又由△≌△有，
PAEPAFAEAF
则AE+BEAF+CF，（）
此即ABAC。即任意三角形是等腰三角形。
此证明有错误吗？
2已知：如图所示，△ABC中BAAC，∠BAC角平分线与BC中垂线交于D，DE⊥BA于
E，求证：BAAC+2BE
⼏何学是在不准确的图形上进⾏正确推理的艺术。——波利亚
ABCABACPQBCBPCQAPQAQP
3QD006.如图，△中，＝，、为上两点，且＝。求证：∠＝∠。
4如图，已知：＝，＝，、相交于。求证：平分∠。
QD007.OAOBOCODADBCEOEAOB
5QD005-2.以△ABC的边AB、AC分别为一边，向形外作正方形ABMN、正方形ACPQ。
求证：线段和相等且垂直。
BQCN
6QD005-3.以△ABC的边AB、AC分别为一边，向形内作正方形ABMN、正方形ACPQ。
求证：线段和相等且垂直。
BQCN
⼏何学是在不准确的图形上进⾏正确推理的艺术。——波利亚
7QD002.如图，AE＝DE，AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC。求证：AB＋CD＝BC。
8QD094.如图，在△ABC两侧作正方形ABEG和ACFH，EE⊥BC于E，FF⊥BC于F。
求证：＋＝。
EEFFBC
、已知：如图，为中点，，共线。求证：∠∠
9EABACBDECDACED.
、求证：有两边和第三边上中线对应相等的两个三角形一定全等。
10QD131.
⼏何学是在不准确的图形上进⾏正确推理的艺术。——波利亚
二、构型总结：
三、巩固练习
如图，△，⊥于，⊥于。
1QD123.ABCDEABEDFACF
（1）若D在△ABC内，且DB＝DC，DE＝DF，求证：AB＝AC。
（）若在上，且＝，＝，求证：＝。
2DBCDBDCDEDFABAC
（3）若D在△ABC外，且DB＝DC，DE＝DF，问结论是否还成立？
2如图，△中，＝，延长到，延长到，使＝。
QD006.ABCABACCBEBCFEBCF
求证：AE＝AF。
⼏何学是在不准确的图形上进⾏正确推理的艺术。——波利亚
3QD001.已知△ABC是等腰直角三角形，点D在腰AC上，点E在腰BA的延长线上，且
AD＝AE，联结BD、CE。求证：BD＝CE且BD⊥CE。
4、QD003.如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC上一点，分别过B、C作AD
的
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