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浙江省高中数学竞赛

2018年浙江省高中数学竞赛

一、填空题(每题8分，共80分)

1.已知a为正实数，且f(x)=eq\f(1,a)－\f(1,ax+1)是奇函数，则f(x)的值域为.

2.设数列{an}满足a1=1，an+1=5an+1(n=1，2，…)，则eq\i\su(n=1,2018,an)=.

3.已知α、β∈eq\b\bc\((\a\al(\f(3π,4)，π))，cos(α+β)=eq\f(4,5)，sin(α－β)=eq\f(12,13)，则coseq\b\bc\((\a\al(β+\f(π,4)))=.

4.在八个数2，4，6，7，8，11，12，13中任取两个组成分数，这些分数中有个既约分数.

5.已知虚数z满足z3+1=0，则eq\b\bc\((\a\al(\f(z,z－1)))\s\up7(2018)+eq\b\bc\((\a\al(\f(1,z－1)))\s\up7(2018)=.

6.设eq\o(|AB|,\s\up6(→))=10.若平面上点P满足对任意的t∈R，有eq\b\bc\|(\a\al(\o(AP,\s\up6(→))－t\o(AB,\s\up6(→))))≥3，则eq\o(PA,\s\up6(→))·\o(PB,\s\up6(→))的最小值为，此时，|eq\o(PA,\s\up6(→))+\o(PB,\s\up6(→))|=.

7.在△ABC中，AB+AC=7，且三角形的面积为4，则sinA的最小值为.

8.设f(x)=|x+1|+|x|－|x－2|，则f(f(x))+1=0有个不同的解.

9.设x，y∈R满足x－6eq\r(y)－4\r(x－y)+12=0，则x的取值范围为.

10.四面体P－ABC，PA=BC=eq\r(6)，PB=AC=eq\r(8)，PC=AB=\r(10)，则该四面体外接球的半径为.

二、解答题：(11、12、13题各20分，14、15各30分)

11.已知动直线l与圆x2+y2=1相切，与椭圆eq\f(x2,9)+y2=1相交于不同的两点A、B，求原点到AB的中垂线的最大距离.

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12.设a∈R，且对任意实数b均有eq\o(max,\s\do7(x∈[0，1]))|x2+ax+b|≥1，求a的取值范围.

13.设实数x1，x2，…，x2018满足eqx\s(2,n+1)≤xnxn+2(n=1，2，…，2018)和eq\i\pr(n=1,2018,xn)=1，证明：

x1009x1010≤1.

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14.将2n(n≥2)个数分成两组a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn.证明：

eq\i\su(\o(1≤i≤n,\s\do7(1≤j≤n)),,|ai－bj|)－eq\i\su(1≤ij≤n,,(|ai－aj|+|bj－bi|))≥n.

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15.如图所示，将同心圆环均匀分成了n(n≥3)格.在内环中固定数字1~n.问能否将数字1~n填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环中数字相同?

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