2024年高考数学大一轮(人教A版文)第二章2.6　二次函数与幂函数复习讲义(学生版+解析).docxVIP

§2.6二次函数与幂函数

考试要求1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．

知识梳理

1．幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，函数________________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

(2)常见的五种幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α0时，幂函数的图象都过点__________和____________，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α0时，幂函数的图象都过点________，且在(0，＋∞)上单调递减；

④当α为奇数时，y＝xα为________________；当α为偶数时，y＝xα为________________．

2．二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：f(x)＝________________________.

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为________________．

零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的________．

(2)二次函数的图象和性质

函数

y＝ax2＋bx＋c(a0)

y＝ax2＋bx＋c(a0)

图象

(抛物线)

定义域

值域

对称轴

x＝________

顶点坐标

奇偶性

当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数

单调性

在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递______；

在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递______

在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递______；

在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递______

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数是幂函数．()

(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a0且Δ0.()

(3)二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞)．()

(4)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．()

教材改编题

1．已知幂函数f(x)的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,5)))，则f(8)的值等于()

A.eq\f(1,4)B．4C．8D.eq\f(1,8)

2．已知函数f(x)＝－x2－4x＋5，则函数y＝f(x)的单调递增区间为()

A．(－∞，－2] B．(－∞，2]

C．[－2，＋∞) D．[2，＋∞)

3．函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1,2]的值域为()

A．[－6,2] B．[－6,1]

C．[0,2] D．[0,1]

题型一幂函数的图象与性质

例1(1)若幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp在第一象限内的图象如图所示，则()

A．mnp

B．nmp

C．npm

D．pnm

(2)(2023·德州模拟)幂函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上单调递增，则f(3)等于()

A．27B．9C.eq\f(1,9)D.eq\f(1,27)

听课记录：___________________________________________________________________

思维升华(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α0,0α1，α＝1，α1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．

(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．

跟踪训练1(1)已知幂函数(p∈Z)的图象关于y轴对称，如图所示，则()

A．p为奇数，且p0

B．p为奇数，且p0

C．p为偶数，且p0

D．p为偶数，且p0

(2)(2023·长沙质检)幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm的图象关于y轴对称，则实数m＝________.

题型二二次函数的解析式

例2已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．

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