高等数学 上册 第3版 第1章 函数与极限.ppt

备用题至少有一个不超证证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然过4的正根.机动目录上页下页返回结束二、连续与间断一、函数三、极限习题课机动目录上页下页返回结束函数与极限第一章一、函数1.函数的概念定义:定义域值域图形:(一般为曲线)设函数为特殊的映射:其中机动目录上页下页返回结束2.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性3.反函数设函数为单射,反函数为其逆映射4.复合函数给定函数链则复合函数为5.初等函数有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复复合而成的一个表达式的函数.机动目录上页下页返回结束例1.设函数求解:机动目录上页下页返回结束解:利用函数表示与变量字母的无关的特性.代入原方程得代入上式得设其中求令即即令即画线三式联立即例2.机动目录上页下页返回结束思考与练习1.下列各组函数是否相同?为什么?相同相同相同机动目录上页下页返回结束2.下列各种关系式表示的y是否为x的函数?

为什么?不是是不是提示:(2)机动目录上页下页返回结束⑶⑵3.下列函数是否为初等函数?为什么?⑷以上各函数都是初等函数.机动目录上页下页返回结束4.设求及其定义域.5.已知,求6.设求由得4.解:机动目录上页下页返回结束5.已知,求解:6.设求解:机动目录上页下页返回结束二、连续与间断1.函数连续的等价形式有2.函数间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点机动目录上页下页返回结束有界定理;最值定理;零点定理;介值定理.3.闭区间上连续函数的性质例3.设函数在x=0连续,则a=,b=.提示:机动目录上页下页返回结束有无穷间断点及可去间断点解:为无穷间断点,所以为可去间断点,极限存在例4.设函数试确定常数a及b.机动目录上页下页返回结束例5.设f(x)定义在区间上,,若f(x)在连续,提示:阅读与练习且对任意实数证明f(x)对一切x都连续.P64题2(2),4;P73题5机动目录上页下页返回结束证:P73题5.证明:若令则给定当时,有又根据有界性定理,,使取则在内连续,存在,则必在内有界.机动目录上页下页返回结束3．函数在区间内连续的定义连续函数的图形是一条连续而不断开的曲线．注二、连续函数的运算性质定理2（连续函数的和、差、积、商的连续性）（反函数的连续性）【简言之，单调连续函数必有单调连续的反函数.】定理3（复合函数的连续性）（极限号与函数号换序定理）定理4定理5例4求下列极限：一般地，则三、初等函数的连续性定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的．注10定义区间──包含在定义域内的区间──定义域中除去＂孤立点＂的部分．20基本初等函数的定义域中没有孤立点，故30定理6表明：初等函数的连续区间就是其定义区间．40定理6还提供了求极限的一个简单而又重要的方法：基本初等函数在其定义域内都是连续的．四、函数的间断点及其分类1．间断点的定义注2.间断点的分类:第一类间断点:及均存在,第二类间断点:及中至少一个不存在,若称为可去间断点.若称为跳跃间断点.则称若其中至少有一个为为无穷间断点.若其中至少有一个振荡,则称为振荡间断点.第一类间断点跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx可去型oyxoyx.例5解为函数的