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高中数学数与式教案
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高中数学数与式教案
在初中,我们已学习了实数,知道字母可以表示数,用代数式也可以表示数,我们把实数和代数式简称为数与式.代数式中有整式(多项式、单项式)、分式、根式.它们具有实数的属性,可以进行运算.在多项式的乘法运算中,我们学习了乘法公式(平方差公式与完全平方公式),并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便.由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算,因此本节中将拓展乘法公式的内容,补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式.在根式的运算中,我们已学过被开方数是实数的根式运算,而在高中数学学习中,经常会接触到被开方数是字母的情形,但在初中却没有涉及,因此本节中要补充.基于同样的原因,还要补充“繁分式”等有关内容.
一、乘法公式
【公式1】平方差公式:
【公式2】完全平方公式:
【公式3】完全立方公式:
【公式4】(完全平方公式)
证明:
.
等式成立
【例1】计算:
解:原式=
说明:多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列.
【公式5】(立方和公式)
证明:.
【公式6】(立方差公式)
证明:.
【例2】计算:
(1) (2)
(3) (4)
解:(1)原式=.
(2)原式=.
(3)原式=.
(4)原式=
.
说明:在进行代数式的乘法、除法运算时,要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构.
【例3】已知,求的值.
高中数学数与式教案全文共1页,当前为第1页。解:
高中数学数与式教案全文共1页,当前为第1页。
原式=
说明:本题若先从方程中解出的值后,再代入代数式求值,则计算较烦.本题则根据条件式与求值式的联系,用整体代换的方法计算,简化了计算.
引申:
二、指数式
当时,.
当时,⑴零指数,⑵负指数.
⑶分数指数为正整数).
幂运算法则:.
【例4】求下列各式的值:,,
解:;;.
【例5】计算下列各式
⑴;⑵.
解:⑴;
⑵.
三、根式
式子叫做二次根式,其性质如下:
(1) (2)
(3) (4)
如果有,那么叫做的次方根,其中为大于的整数.
当n为奇数时,,当n为偶数时,.
【例6】化简下列各式:
(1) (2)
解:(1)原式=
(2)原式=
说明:请注意性质的使用:当化去绝对值符号但字母的范围未知时,要对字母的取值分类讨论.
【例7】计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数):
高中数学数与式教案全文共2页,当前为第2页。(1) (2) (3)
高中数学数与式教案全文共2页,当前为第2页。
解:(1)原式=
(2)原式=
(3)原式=.
说明:(1)二次根式的化简结果应满足:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
(2)二次根式的化简常见类型有下列两种:①被开方数是整数或整式.化简时,先将它分解因数或因式,然后把开得尽方的因数或因式开出来;②分母中有根式(如)或被开方数有分母(如).这时可将其化为形式(如可化为),转化为“分母中有根式”的情况.化简时,要把分母中的根式化为有理式,采取分子、分母同乘以一个根式进行化简.(如化为,其中与叫做互为有理化因式).
四、分式
当分式的分子、分母中至少有一个是分式时,就叫做繁分式,繁分式的化简常用以下两种方法:(1)利用除法法则;(2)利用分式的基本性质.
【例8】化简
解法一:原式=
解法二:原式=
说明:解法一的运算方法是从最内部的分式入手,采取通分的方式逐步脱掉繁分式,解法二则是利用分式的基本性质进行化简.一般根据题目特点综合使用两种方法.
【例9】化简
解:原式=
.
高中数学数与式教案全文共3页,当前为第3页。说明:(1)分式的乘除运算一般化为乘法进行,当分子、分母为多项式时,应先因式分解再进行约分化简;(2)分式的计算结果应是最简分式或整式.
高中数学数与式教案全文共3页,当前为第3页。
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