八年级下册 专题. 勾股定理的逆定理【八大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）40.docx

专题17.2勾股定理的逆定理【八大题型】

【人教版】

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【题型1判断三边能否构成直角三角形】 1

【题型2图形上与已知两点构成直角三角形的点】 3

【题型3在网格中判断直角三角形】 6

【题型4勾股数的探究】 9

【题型5利用勾股定理的逆定理证明】 13

【题型6利用勾股定理的逆定理求解】 17

【题型7勾股逆定理的应用】 20

【题型8勾股定理及其逆定理的综合】 23

【知识点勾股定理的逆定理】

如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=

【题型1判断三边能否构成直角三角形】

【例1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考期中）由线段a、b、c组成的三角形是直角三角形的是（????）

A．a=5,b=3,

C．a=6,b=4,

【答案】D

【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．

【详解】解：A、32

B、15

C、42

D、72

故选：D．

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．

【变式1-1】（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a+ba

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定

【答案】B

【分析】将原式整理为a2=

【详解】解：∵a+

∴a2

∴a2

∴这个三角形是直角三角形；

故选：B.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和平方差公式，熟练掌握勾股定理逆定理、得出a2=

【变式1-2】（2023春·八年级单元测试）如图，以△ABC的两边BC、AC分别向外作正方形，它们的面积分别是S1，S2，若S1=2，S2=3

【答案】直角

【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理的逆定理即可得出答案．

【详解】解：∵S1=2，

∴BC2=2

∵AB

∴AC

∴△ABC

故答案为：直角．

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和正方形面积的应用，理解勾股定理的逆定理的内容是解题的关键．

【变式1-3】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）有四种说法：①三个内角之比为5:6:1；②三边形长分别为：2,7,5；③三边之长为9、40、41；④三边之比为1.5∶2∶3．其中

【答案】①②③

【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理进行求解即可．

【详解】解：∵三角形三个内角之比为5:6:1，

∴三角形最大的内角为180°×6

∴该三角形为直角三角形，故①正确；

∵22

∴该三角形为直角三角形，故②正确；

∵92

∴该三角形为直角三角形，故③正确；

∵1.52

∴该三角形不是直角三角形，故④错误；

故答案为：①②③．

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理得逆定理，熟知三角形内角和为180度和勾股定理的逆定理是解题的关键．

【题型2图形上与已知两点构成直角三角形的点】

【例2】（2023春·全国·八年级专题练习）同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为5cm，点C到直线AB的距离为2cm，且△ABC为直角三角形，则满足上述条件的点C

【答案】8

【分析】该题存在两种情况；（1）AB为斜边，则∠C=90°；（2）AB为直角边，AC=2

【详解】（1）当AB为斜边时，点C到直线AB的距离为2cm，即AB边上的高为2cm，符合要求的C点有

（2）当AB为直角边时，AC=2cm或BC=2

符合要求的C点有8个；

故答案是8．

【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析判断是解题的关键．

【变式2-1】（2023春·八年级单元测试）在如图所示的5×5的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足△ABC为以AB为斜边的直角三角形．这样的点C有（????

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可．

【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个，

故选D．

【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键．

【变式2-2】（2023春·全国·八年级专题练习）点A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（??）

A．4 B．2 C．1 D．0

【答案】B

【分析】分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况考虑：当∠OAB＝90°时，点A在x轴上，进而可得出m＝0；当∠OBA＝90°时，点B在x轴上，进而可得出m＝5；当∠AOB＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．综上，对照四个选项即可得出结论．

【详解】

解：分三种情况考虑（如图所示）：

当∠OAB＝9