E^n中的垂心组定理.pdf

n

E中的垂心组定理

李兴源，lihpb@

摘要

本文将三角形的垂心组定理推广至存在垂心的n维单形。

关键词

nk

维单形，号心，垂心

TheOrthocentricSystemTheoremin

N-EuclideanSpace

XingyuanLi，lihpb@

Abstract

Thisarticleextendsthetriangularlyorthocentricsystemtheoremtothen-simplexwithorthocenter.

Keywords

N-Simplex,No.KCenter,Orthocenter

1.引言

定义1在维欧氏空间中，设维单形AAA...A的外心为，为任意非零实数，若点满足

nnOkK

012n

1n

OKOAi，

ki0

Knk

则将点称作维单形AAA...A的号心。

012n

n

在文[1]中，对维单形号心的定义是取任意正整数。事实上，可以为任意非零实数。

kkk

定义2若维单形AAA...A的n1条高线在维欧氏空间中交于一点，则将点称作维单形

nnHHn

012n

AAA...A的垂心。本文将存在垂心的维单形称作维垂心单形。

nn

012n

本文所讨论的n维单形均默认其为非退化单形且存在垂心（因为对于退化单形，其外心O在无穷远点，

也不可能存在垂心）。

n3，n垂心的充分必要条件是该单形中任意两条没有公共端点的棱均互相垂

引理1当时维单形存在

直。[2][3]

AAA...AAASSSS

证明设维单形的任意两顶点、所对的n1维侧面分别为、，与所交的

n

012nijijij

n2F0ijn

维单形为，。

ij

1

设垂心垂心H

先证必要性，n维